MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Unicode version

Theorem itgaddlem1 19392
Description: Lemma for itgadd 19394. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
itgadd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgadd.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgadd.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
itgadd.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgadd.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
31, 2readdcld 9009 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
4 itgadd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
5 itgadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
7 itgadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
84, 5, 6, 7ibladd 19390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
9 itgadd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
10 itgadd.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
111, 2, 9, 10addge0d 9495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( B  +  C
) )
123, 8, 11itgposval 19365 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
131, 5, 9itgposval 19365 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
142, 7, 10itgposval 19365 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
1513, 14oveq12d 5999 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
161, 9iblpos 19362 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
175, 16mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1817simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1918, 1mbfdm2 19208 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 mblss 19105 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2119, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 19113 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
24 elrege0 10899 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
251, 9, 24sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
26 0re 8985 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
27 0le0 9974 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
28 elrege0 10899 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 886 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
3029a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3125, 30ifclda 3681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
3231adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
33 eldifn 3386 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
3433adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
35 iffalse 3661 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
3634, 35syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
37 iftrue 3660 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3837mpteq2ia 4204 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3938, 18syl5eqel 2450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
4021, 23, 32, 36, 39mbfss 19216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
4131adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
42 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
4341, 42fmptd 5795 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
4417simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
45 elrege0 10899 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
462, 10, 45sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4746, 30ifclda 3681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
4847adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
49 iffalse 3661 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
5034, 49syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
51 iftrue 3660 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5251mpteq2ia 4204 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
532, 10iblpos 19362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
547, 53mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5554simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5652, 55syl5eqel 2450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  e. MblFn
)
5721, 23, 48, 50, 56mbfss 19216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
5847adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
59 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6058, 59fmptd 5795 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
6154simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
6240, 43, 44, 57, 60, 61itg2add 19329 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
63 reex 8975 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
6463a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
65 eqidd 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
66 eqidd 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
6764, 41, 58, 65, 66offval2 6222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
6837, 51oveq12d 5999 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
69 iftrue 3660 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  ( B  +  C ) )
7068, 69eqtr4d 2401 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
7135, 49oveq12d 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
72 00id 9134 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
7371, 72syl6eq 2414 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  0 )
74 iffalse 3661 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  0 )
7573, 74eqtr4d 2401 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
7670, 75pm2.61i 156 . . . . . 6  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )
7776mpteq2i 4205 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( B  +  C
) ,  0 ) )
7867, 77syl6eq 2414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) )
7978fveq2d 5636 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
8015, 62, 793eqtr2d 2404 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
8112, 80eqtr4d 2401 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    C_ wss 3238   ifcif 3654   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   dom cdm 4792   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   RRcr 8883   0cc0 8884    + caddc 8887    +oocpnf 9011    <_ cle 9015   [,)cico 10811   volcvol 19038  MblFncmbf 19184   S.2citg2 19186   L ^1cibl 19187   S.citg 19188
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  19393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-disj 4096  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-rest 13537  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cmp 17331  df-ovol 19039  df-vol 19040  df-mbf 19190  df-itg1 19191  df-itg2 19192  df-ibl 19193  df-itg 19194  df-0p 19240
  Copyright terms: Public domain W3C validator