MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgaddlem1 19743
Description: Lemma for itgadd 19745. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
itgadd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgadd.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgadd.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
itgadd.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgadd.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
31, 2readdcld 9146 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
4 itgadd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
5 itgadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
7 itgadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
84, 5, 6, 7ibladd 19741 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
9 itgadd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
10 itgadd.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
111, 2, 9, 10addge0d 9633 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( B  +  C
) )
123, 8, 11itgposval 19716 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
131, 5, 9itgposval 19716 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
142, 7, 10itgposval 19716 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
1513, 14oveq12d 6128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
161, 9iblpos 19713 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
175, 16mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1817simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1918, 1mbfdm2 19559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 mblss 19458 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 19466 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
24 elrege0 11038 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
251, 9, 24sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
26 0re 9122 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
27 0le0 10112 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
28 elrege0 11038 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 888 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3125, 30ifclda 3790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
3231adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
33 eldifn 3456 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
3433adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
35 iffalse 3770 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
3634, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
37 iftrue 3769 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3837mpteq2ia 4316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3938, 18syl5eqel 2526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
4021, 23, 32, 36, 39mbfss 19567 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
4131adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
42 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
4341, 42fmptd 5922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
4417simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
45 elrege0 11038 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
462, 10, 45sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4746, 30ifclda 3790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
4847adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
49 iffalse 3770 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
5034, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
51 iftrue 3769 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5251mpteq2ia 4316 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
532, 10iblpos 19713 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
547, 53mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5554simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5652, 55syl5eqel 2526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  e. MblFn
)
5721, 23, 48, 50, 56mbfss 19567 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
5847adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
59 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6058, 59fmptd 5922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
6154simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
6240, 43, 44, 57, 60, 61itg2add 19680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
63 reex 9112 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
65 eqidd 2443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
66 eqidd 2443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
6764, 41, 58, 65, 66offval2 6351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
6837, 51oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
69 iftrue 3769 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  ( B  +  C ) )
7068, 69eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
7135, 49oveq12d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
72 00id 9272 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
7371, 72syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  0 )
74 iffalse 3770 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  0 )
7573, 74eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
7670, 75pm2.61i 159 . . . . . 6  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )
7776mpteq2i 4317 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( B  +  C
) ,  0 ) )
7867, 77syl6eq 2490 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) )
7978fveq2d 5761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
8015, 62, 793eqtr2d 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
8112, 80eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    C_ wss 3306   ifcif 3763   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   dom cdm 4907   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    o Fcof 6332   RRcr 9020   0cc0 9021    + caddc 9024    +oocpnf 9148    <_ cle 9152   [,)cico 10949   volcvol 19391  MblFncmbf 19537   S.2citg2 19539   L ^1cibl 19540   S.citg 19541
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  19744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cc 8346  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-disj 4208  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-rest 13681  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cmp 17481  df-ovol 19392  df-vol 19393  df-mbf 19542  df-itg1 19543  df-itg2 19544  df-ibl 19545  df-itg 19546  df-0p 19591
  Copyright terms: Public domain W3C validator