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Theorem itgaddlem2 19276
Description: Lemma for itgadd 19277. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
itgadd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgadd.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgaddlem2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddlem2
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 max0sub 10612 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
31, 2syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4 itgadd.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
5 max0sub 10612 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
64, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
73, 6oveq12d 5960 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( B  +  C
) )
8 0re 8925 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
101, 8, 9sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
1110recnd 8948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
12 ifcl 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
134, 8, 12sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 8948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
151renegcld 9297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
16 ifcl 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1715, 8, 16sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1817recnd 8948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
194renegcld 9297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
20 ifcl 3677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2119, 8, 20sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2221recnd 8948 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
2311, 14, 18, 22addsub4d 9291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
241, 4readdcld 8949 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
25 max0sub 10612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  +  C )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
277, 23, 263eqtr4rd 2401 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
2824renegcld 9297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  e.  RR )
29 ifcl 3677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( B  +  C )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  e.  RR )
3028, 8, 29sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3130recnd 8948 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3211, 14addcld 8941 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  CC )
33 ifcl 3677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3424, 8, 33sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3534recnd 8948 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3618, 22addcld 8941 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  CC )
3731, 32, 35, 36addsubeq4d 9295 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  <->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
3827, 37mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
3938itgeq2dv 19234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x )
40 itgadd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
41 itgadd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
42 itgadd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
43 itgadd.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
4440, 41, 42, 43ibladd 19273 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
4524iblre 19246 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
4644, 45mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
4746simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
4810, 13readdcld 8949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
491iblre 19246 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
5041, 49mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
5150simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1 )
524iblre 19246 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
5343, 52mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
5453simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e.  L ^1 )
5510, 51, 13, 54ibladd 19273 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e.  L ^1 )
56 max1 10603 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
578, 28, 56sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
58 max1 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
598, 1, 58sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
60 max1 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
618, 4, 60sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
6210, 13, 59, 61addge0d 9435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6330, 47, 48, 55, 30, 48, 57, 62itgaddlem1 19275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x ) )
6446simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6517, 21readdcld 8949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  RR )
6650simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6753simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6817, 66, 21, 67ibladd 19273 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  L ^1 )
69 max1 10603 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
708, 24, 69sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
71 max1 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
728, 15, 71sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
73 max1 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
748, 19, 73sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
7517, 21, 72, 74addge0d 9435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
7634, 64, 65, 68, 34, 65, 70, 75itgaddlem1 19275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
7739, 63, 763eqtr3d 2398 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
7830, 47itgcl 19236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
7910, 51, 13, 54, 10, 13, 59, 61itgaddlem1 19275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x ) )
8010, 51itgcl 19236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
8113, 54itgcl 19236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  e.  CC )
8280, 81addcld 8941 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  e.  CC )
8379, 82eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
8434, 64itgcl 19236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
8517, 66, 21, 67, 17, 21, 72, 74itgaddlem1 19275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
8617, 66itgcl 19236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
8721, 67itgcl 19236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x  e.  CC )
8886, 87addcld 8941 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x )  e.  CC )
8985, 88eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
9078, 83, 84, 89addsubeq4d 9295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  <-> 
( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) ) )
9177, 90mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
9279, 85oveq12d 5960 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9380, 81, 86, 87addsub4d 9291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9491, 92, 933eqtrd 2394 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9524, 44itgreval 19249 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x ) )
961, 41itgreval 19249 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
974, 43itgreval 19249 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
9896, 97oveq12d 5960 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9994, 95, 983eqtr4d 2400 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   ifcif 3641   class class class wbr 4102    e. cmpt 4156  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824    + caddc 8827    <_ cle 8955    - cmin 9124   -ucneg 9125   L ^1cibl 19070   S.citg 19071
This theorem is referenced by:  itgadd  19277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cc 8148  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-disj 4073  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-ofr 6163  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-omul 6568  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-acn 7662  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ioc 10750  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-rest 13420  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-cmp 17214  df-ovol 18922  df-vol 18923  df-mbf 19073  df-itg1 19074  df-itg2 19075  df-ibl 19076  df-itg 19077  df-0p 19123
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