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Theorem itgcnlem 19160
Description: Expand out the sum in dfitg 19140. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnlem.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgcnlem  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem itgcnlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19140 . . 3  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nn0uz 10278 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4 df-3 9821 . . . . 5  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
6 i3 11220 . . . . . . 7  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
75, 6syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
86itgvallem 19155 . . . . . 6  |-  ( k  =  3  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
97, 8oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
10 ax-icn 8812 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
12 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
1311, 12sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ k )  e.  CC )
14 nn0z 10062 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
15 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
16 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
17 itgcnlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
18 itgcnlem.v . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1915, 16, 17, 18iblitg 19139 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
2019recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
2114, 20sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
2213, 21mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
_i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
23 df-2 9820 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
24 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
25 i2 11219 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
2624, 25syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
2725itgvallem 19155 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
2826, 27oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
29 1e0p1 10168 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
30 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
31 exp1 11125 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
3210, 31ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
3330, 32syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
3432itgvallem 19155 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
3533, 34oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
36 0z 10051 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
37 iblmbf 19138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3817, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3938, 18mbfmptcl 19008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4039div1d 9544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  1 )  =  B )
4140fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  1 ) )  =  ( Re `  B ) )
4241ibllem 19135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
4342mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
45 itgcnlem.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4644, 45syl6reqr 2347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
4746oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  ( 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
48 itgcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
49 itgcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
50 itgcnlem.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5145, 48, 49, 50, 18iblcnlem 19159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
5217, 51mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
5352simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR ) )
5453simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
5554recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
5655mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
5747, 56eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R )
5857, 55eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
59 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
0 ) )
60 exp0 11124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 0 )  =  1 )
6110, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 0 )  =  1
6259, 61syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
6361itgvallem 19155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
6462, 63oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6564fsum1 12230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6636, 58, 65sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6766, 57eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R )
68 0nn0 9996 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
6967, 68jctil 523 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R ) )
70 imval 11608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
7139, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
7271ibllem 19135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) )
7372mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )
7473fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
7549, 74syl5req 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
7675oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  T ) )
7776oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  +  ( _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( R  +  ( _i  x.  T ) ) )
783, 29, 35, 22, 69, 77fsump1i 12248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( R  +  ( _i  x.  T ) ) ) )
7939renegd 11710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
80 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
8180negnegi 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8281oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( -u B  / 
1 )
8339negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
8483div1d 9544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  1 )  =  -u B )
8582, 84syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  -u B
)
8680negcli 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
87 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
8880, 87negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
89 div2neg 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( B  /  -u 1
) )
9086, 88, 89mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
9139, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
9285, 91eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  =  ( B  /  -u 1 ) )
9392fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
9479, 93eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
9594ibllem 19135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ,  0 ) )
9695mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )
9796fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9848, 97syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9998oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S )  =  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
10053simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
101100recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
102101mulm1d 9247 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S )  =  -u S )
10399, 102eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )  =  -u S
)
104103oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  -u S ) )
10552simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )
106105simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
107106recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
108 mulcl 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( _i  x.  T
)  e.  CC )
10910, 107, 108sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  T
)  e.  CC )
11055, 109addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  ( _i  x.  T ) )  e.  CC )
111110, 101negsubd 9179 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  -u S )  =  ( ( R  +  ( _i  x.  T ) )  -  S ) )
11255, 109, 101addsubd 9194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  -  S
)  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) ) )
113104, 111, 1123eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) ) )
1143, 23, 28, 22, 78, 113fsump1i 12248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 2 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( R  -  S
)  +  ( _i  x.  T ) ) ) )
115 imval 11608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u B  e.  CC  ->  ( Im `  -u B
)  =  ( Re
`  ( -u B  /  _i ) ) )
11683, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  ( Re `  ( -u B  /  _i ) ) )
11739imnegd 11711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
11810negnegi 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u -u _i  =  _i
119118eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  =  -u -u _i
120119oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u B  /  _i )  =  ( -u B  /  -u -u _i )
12110negcli 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  e.  CC
122 ine0 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
12310, 122negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  =/=  0
124 div2neg 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
125121, 123, 124mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
12639, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
127120, 126syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
128127fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( -u B  /  _i ) )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
129116, 117, 1283eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
130129ibllem 19135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) )
131130mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )
132131fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
13350, 132syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
134133oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  U )  =  (
-u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
135105simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
136135recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
137 mulneg12 9234 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  U  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  U )  =  ( _i  x.  -u U
) )
13810, 136, 137sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  U )  =  ( _i  x.  -u U
) )
139134, 138eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  -u U ) )
140139oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  ( _i  x.  -u U
) ) )
1413, 4, 9, 22, 114, 140fsump1i 12248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) ) )
142141simprd 449 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
1432, 142syl5eq 2340 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( ( R  -  S
)  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
14455, 101subcld 9173 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  -  S
)  e.  CC )
145136negcld 9160 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  CC )
146 mulcl 8837 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u U  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u U )  e.  CC )
14710, 145, 146sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u U
)  e.  CC )
148144, 109, 147addassd 8873 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  ( _i  x.  -u U
) )  =  ( ( R  -  S
)  +  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U ) ) ) )
14911, 107, 145adddid 8875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( T  +  -u U ) )  =  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
150107, 136negsubd 9179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  +  -u U )  =  ( T  -  U ) )
151150oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( T  +  -u U ) )  =  ( _i  x.  ( T  -  U ) ) )
152149, 151eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U
) )  =  ( _i  x.  ( T  -  U ) ) )
153152oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R  -  S )  +  ( ( _i  x.  T
)  +  ( _i  x.  -u U ) ) )  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
154143, 148, 1533eqtrd 2332 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599   sum_csu 12174  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  itgrevallem1  19165  itgcnval  19170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-mbf 18991  df-ibl 18994  df-itg 18995
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