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Theorem itgcnlem 19550
Description: Expand out the sum in dfitg 19530. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnlem.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgcnlem  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem itgcnlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19530 . . 3  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nn0uz 10454 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4 df-3 9993 . . . . 5  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
6 i3 11411 . . . . . . 7  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
75, 6syl6eq 2437 . . . . . 6  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
86itgvallem 19545 . . . . . 6  |-  ( k  =  3  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
97, 8oveq12d 6040 . . . . 5  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
10 ax-icn 8984 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
12 expcl 11328 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
1311, 12sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ k )  e.  CC )
14 nn0z 10238 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
15 eqidd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
16 eqidd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
17 itgcnlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
18 itgcnlem.v . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1915, 16, 17, 18iblitg 19529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
2019recnd 9049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
2114, 20sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
2213, 21mulcld 9043 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
_i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
23 df-2 9992 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
24 oveq2 6030 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
25 i2 11410 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
2624, 25syl6eq 2437 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
2725itgvallem 19545 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
2826, 27oveq12d 6040 . . . . . 6  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
29 1e0p1 10344 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
30 oveq2 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
31 exp1 11316 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
3210, 31ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
3330, 32syl6eq 2437 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
3432itgvallem 19545 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
3533, 34oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
36 0z 10227 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
37 iblmbf 19528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3938, 18mbfmptcl 19398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4039div1d 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  1 )  =  B )
4140fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  1 ) )  =  ( Re `  B ) )
4241ibllem 19525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
4342mpteq2dv 4239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
45 itgcnlem.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4644, 45syl6reqr 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
4746oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  ( 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
48 itgcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
49 itgcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
50 itgcnlem.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5145, 48, 49, 50, 18iblcnlem 19549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
5217, 51mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
5352simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR ) )
5453simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
5554recnd 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
5655mulid2d 9041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
5747, 56eqtr3d 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R )
5857, 55eqeltrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
59 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
0 ) )
60 exp0 11315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 0 )  =  1 )
6110, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 0 )  =  1
6259, 61syl6eq 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
6361itgvallem 19545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
6462, 63oveq12d 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6564fsum1 12464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6636, 58, 65sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6766, 57eqtrd 2421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R )
68 0nn0 10170 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
6967, 68jctil 524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R ) )
70 imval 11841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
7139, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
7271ibllem 19525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) )
7372mpteq2dv 4239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )
7473fveq2d 5674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
7549, 74syl5req 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
7675oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  T ) )
7776oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  +  ( _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( R  +  ( _i  x.  T ) ) )
783, 29, 35, 22, 69, 77fsump1i 12482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( R  +  ( _i  x.  T ) ) ) )
7939renegd 11943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
80 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
8180negnegi 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8281oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( -u B  / 
1 )
8339negcld 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
8483div1d 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  1 )  =  -u B )
8582, 84syl5eq 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  -u B
)
8680negcli 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
87 ax-1ne0 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
8880, 87negne0i 9309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
89 div2neg 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( B  /  -u 1
) )
9086, 88, 89mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
9139, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
9285, 91eqtr3d 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  =  ( B  /  -u 1 ) )
9392fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
9479, 93eqtr3d 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
9594ibllem 19525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ,  0 ) )
9695mpteq2dv 4239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )
9796fveq2d 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9848, 97syl5eq 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9998oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S )  =  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
10053simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
101100recnd 9049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
102101mulm1d 9419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S )  =  -u S )
10399, 102eqtr3d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )  =  -u S
)
104103oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  -u S ) )
10552simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )
106105simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
107106recnd 9049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
108 mulcl 9009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( _i  x.  T
)  e.  CC )
10910, 107, 108sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  T
)  e.  CC )
11055, 109addcld 9042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  ( _i  x.  T ) )  e.  CC )
111110, 101negsubd 9351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  -u S )  =  ( ( R  +  ( _i  x.  T ) )  -  S ) )
11255, 109, 101addsubd 9366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  -  S
)  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) ) )
113104, 111, 1123eqtrd 2425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) ) )
1143, 23, 28, 22, 78, 113fsump1i 12482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 2 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( R  -  S
)  +  ( _i  x.  T ) ) ) )
115 imval 11841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u B  e.  CC  ->  ( Im `  -u B
)  =  ( Re
`  ( -u B  /  _i ) ) )
11683, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  ( Re `  ( -u B  /  _i ) ) )
11739imnegd 11944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
11810negnegi 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u -u _i  =  _i
119118eqcomi 2393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  =  -u -u _i
120119oveq2i 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u B  /  _i )  =  ( -u B  /  -u -u _i )
12110negcli 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  e.  CC
122 ine0 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
12310, 122negne0i 9309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  =/=  0
124 div2neg 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
125121, 123, 124mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
12639, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
127120, 126syl5eq 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
128127fveq2d 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( -u B  /  _i ) )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
129116, 117, 1283eqtr3d 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
130129ibllem 19525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) )
131130mpteq2dv 4239 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )
132131fveq2d 5674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
13350, 132syl5eq 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
134133oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  U )  =  (
-u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
135105simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
136135recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
137 mulneg12 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  U  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  U )  =  ( _i  x.  -u U
) )
13810, 136, 137sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  U )  =  ( _i  x.  -u U
) )
139134, 138eqtr3d 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  -u U ) )
140139oveq2d 6038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  ( _i  x.  -u U
) ) )
1413, 4, 9, 22, 114, 140fsump1i 12482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) ) )
142141simprd 450 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
1432, 142syl5eq 2433 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( ( R  -  S
)  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
14455, 101subcld 9345 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  -  S
)  e.  CC )
145136negcld 9332 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  CC )
146 mulcl 9009 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u U  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u U )  e.  CC )
14710, 145, 146sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u U
)  e.  CC )
148144, 109, 147addassd 9045 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  ( _i  x.  -u U
) )  =  ( ( R  -  S
)  +  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U ) ) ) )
14911, 107, 145adddid 9047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( T  +  -u U ) )  =  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
150107, 136negsubd 9351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  +  -u U )  =  ( T  -  U ) )
151150oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( T  +  -u U ) )  =  ( _i  x.  ( T  -  U ) ) )
152149, 151eqtr3d 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U
) )  =  ( _i  x.  ( T  -  U ) ) )
153152oveq2d 6038 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R  -  S )  +  ( ( _i  x.  T
)  +  ( _i  x.  -u U ) ) )  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
154143, 148, 1533eqtrd 2425 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926   _ici 8927    + caddc 8928    x. cmul 8930    <_ cle 9056    - cmin 9225   -ucneg 9226    / cdiv 9611   2c2 9983   3c3 9984   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ...cfz 10977   ^cexp 11311   Recre 11831   Imcim 11832   sum_csu 12408  MblFncmbf 19375   S.2citg2 19377   L ^1cibl 19378   S.citg 19379
This theorem is referenced by:  itgrevallem1  19555  itgcnval  19560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409  df-mbf 19381  df-ibl 19384  df-itg 19385
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