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Theorem itgcnlem 19673
Description: Expand out the sum in dfitg 19653. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnlem.i  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgcnlem  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem itgcnlem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19653 . . 3  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 nn0uz 10512 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4 df-3 10051 . . . . 5  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
6 i3 11474 . . . . . . 7  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
75, 6syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
86itgvallem 19668 . . . . . 6  |-  ( k  =  3  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
97, 8oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( -u _i  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
10 ax-icn 9041 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
12 expcl 11391 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
1311, 12sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( _i ^ k )  e.  CC )
14 nn0z 10296 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
15 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
16 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
17 itgcnlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
18 itgcnlem.v . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1915, 16, 17, 18iblitg 19652 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
2019recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
2114, 20sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
2213, 21mulcld 9100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
_i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
23 df-2 10050 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
24 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
25 i2 11473 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
2624, 25syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
2725itgvallem 19668 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
2826, 27oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( -u
1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
29 1e0p1 10402 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
30 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
31 exp1 11379 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
3210, 31ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
3330, 32syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
3432itgvallem 19668 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
3533, 34oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
36 0z 10285 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
37 iblmbf 19651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3938, 18mbfmptcl 19521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4039div1d 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  1 )  =  B )
4140fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  1 ) )  =  ( Re `  B ) )
4241ibllem 19648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
4342mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
45 itgcnlem.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
4644, 45syl6reqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
4746oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  ( 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
48 itgcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
49 itgcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
50 itgcnlem.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5145, 48, 49, 50, 18iblcnlem 19672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
5217, 51mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
5352simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR ) )
5453simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
5554recnd 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
5655mulid2d 9098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  R
)  =  R )
5747, 56eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R )
5857, 55eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
59 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
0 ) )
60 exp0 11378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 0 )  =  1 )
6110, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 0 )  =  1
6259, 61syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
6361itgvallem 19668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
6462, 63oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6564fsum1 12527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6636, 58, 65sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
6766, 57eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R )
68 0nn0 10228 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
6967, 68jctil 524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  R ) )
70 imval 11904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
7139, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
7271ibllem 19648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) )
7372mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )
7473fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
7549, 74syl5req 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
7675oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  T ) )
7776oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  +  ( _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( R  +  ( _i  x.  T ) ) )
783, 29, 35, 22, 69, 77fsump1i 12545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( R  +  ( _i  x.  T ) ) ) )
7939renegd 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
80 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
8180negnegi 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u -u 1  =  1
8281oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( -u B  / 
1 )
8339negcld 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
8483div1d 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  1 )  =  -u B )
8582, 84syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  -u B
)
8680negcli 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  CC
87 ax-1ne0 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
8880, 87negne0i 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
89 div2neg 9729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( B  /  -u 1
) )
9086, 88, 89mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
9139, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
9285, 91eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  =  ( B  /  -u 1 ) )
9392fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
9479, 93eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
9594ibllem 19648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ,  0 ) )
9695mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )
9796fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9848, 97syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
9998oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S )  =  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )
10053simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
101100recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
102101mulm1d 9477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  S )  =  -u S )
10399, 102eqtr3d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )  =  -u S
)
104103oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  -u S ) )
10552simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )
106105simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
107106recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
108 mulcl 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( _i  x.  T
)  e.  CC )
10910, 107, 108sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  T
)  e.  CC )
11055, 109addcld 9099 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  +  ( _i  x.  T ) )  e.  CC )
111110, 101negsubd 9409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  -u S )  =  ( ( R  +  ( _i  x.  T ) )  -  S ) )
11255, 109, 101addsubd 9424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  -  S
)  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) ) )
113104, 111, 1123eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u 1  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) ) )
1143, 23, 28, 22, 78, 113fsump1i 12545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 2 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( R  -  S
)  +  ( _i  x.  T ) ) ) )
115 imval 11904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u B  e.  CC  ->  ( Im `  -u B
)  =  ( Re
`  ( -u B  /  _i ) ) )
11683, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  ( Re `  ( -u B  /  _i ) ) )
11739imnegd 12007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
11810negnegi 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u -u _i  =  _i
119118eqcomi 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  =  -u -u _i
120119oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u B  /  _i )  =  ( -u B  /  -u -u _i )
12110negcli 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  e.  CC
122 ine0 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
12310, 122negne0i 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u _i  =/=  0
124 div2neg 9729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
125121, 123, 124mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
12639, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
127120, 126syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
128127fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( -u B  /  _i ) )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
129116, 117, 1283eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
130129ibllem 19648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) )
131130mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )
132131fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
13350, 132syl5eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
134133oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  U )  =  (
-u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )
135105simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
136135recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
137 mulneg12 9464 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  U  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  U )  =  ( _i  x.  -u U
) )
13810, 136, 137sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  U )  =  ( _i  x.  -u U
) )
139134, 138eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( _i  x.  -u U ) )
140139oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  (
-u _i  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  ( _i  x.  -u U
) ) )
1413, 4, 9, 22, 114, 140fsump1i 12545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) ) )
142141simprd 450 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
1432, 142syl5eq 2479 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( ( R  -  S
)  +  ( _i  x.  T ) )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
14455, 101subcld 9403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  -  S
)  e.  CC )
145136negcld 9390 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  CC )
146 mulcl 9066 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  -u U  e.  CC )  ->  ( _i  x.  -u U )  e.  CC )
14710, 145, 146sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u U
)  e.  CC )
148144, 109, 147addassd 9102 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  T
) )  +  ( _i  x.  -u U
) )  =  ( ( R  -  S
)  +  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U ) ) ) )
14911, 107, 145adddid 9104 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( T  +  -u U ) )  =  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U ) ) )
150107, 136negsubd 9409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  +  -u U )  =  ( T  -  U ) )
151150oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( T  +  -u U ) )  =  ( _i  x.  ( T  -  U ) ) )
152149, 151eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  T )  +  ( _i  x.  -u U
) )  =  ( _i  x.  ( T  -  U ) ) )
153152oveq2d 6089 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( R  -  S )  +  ( ( _i  x.  T
)  +  ( _i  x.  -u U ) ) )  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
154143, 148, 1533eqtrd 2471 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( R  -  S )  +  ( _i  x.  ( T  -  U
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   2c2 10041   3c3 10042   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ...cfz 11035   ^cexp 11374   Recre 11894   Imcim 11895   sum_csu 12471  MblFncmbf 19498   S.2citg2 19500   L ^1cibl 19501   S.citg 19502
This theorem is referenced by:  itgrevallem1  19678  itgcnval  19683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-mbf 19504  df-ibl 19507  df-itg 19508
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