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Theorem itgconst 19189
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
2 fconstmpt 4748 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
3 iblconst 19188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  L ^1 )
42, 3syl5eqelr 2381 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
51, 4itgcnval 19170 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
6 replim 11617 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
763ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  B  =  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
87oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A ) ) )
9 recl 11611 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1093ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
11 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
12 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { y } )  =  ( x  e.  A  |->  y )
13 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
14 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
1716recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
18 iblconst 19188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  X.  {
y } )  e.  L ^1 )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  X.  { y } )  e.  L ^1 )
2012, 19syl5eqelr 2381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  y )  e.  L ^1 )
2111, 20itgrevallem1 19165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
22 ifan 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ,  0 )
2322mpteq2i 4119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) )
2423fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )
25 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
26 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR )
2716, 25, 26sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
28 max1 10530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
2925, 16, 28sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
30 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ) )
3127, 29, 30sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
32 itg2const 19111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
3313, 15, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
3424, 33syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
35 ifan 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) ,  0 )
3635mpteq2i 4119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) )
3736fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )
38 renegcl 9126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3938adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  -u y  e.  RR )
40 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
4139, 25, 40sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
42 max1 10530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
4325, 39, 42sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
44 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ) )
4541, 43, 44sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
46 itg2const 19111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
4713, 15, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
4837, 47syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
4934, 48oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
5027recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  CC )
5141recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  CC )
5214recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
5352adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
5450, 51, 53subdird 9252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
55 max0sub 10539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  =  y )
5655adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )  =  y )
5756oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
5849, 54, 573eqtr2rd 2335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  ( vol `  A
) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
5921, 58eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A ) ) )
6059ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
61 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  ( Re
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Re
`  B ) )
6261itgeq2dv 19152 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Re `  B )  _d x )
63 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
6462, 63eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Re `  B
)  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
6564rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Re `  B )  _d x  =  ( ( Re
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
6610, 60, 65sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
67 imcl 11612 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
68673ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
69 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  ( Im
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Im
`  B ) )
7069itgeq2dv 19152 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Im `  B )  _d x )
71 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
7270, 71eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Im `  B
)  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
7372rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Im `  B )  _d x  =  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
7468, 60, 73sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
7574oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
76 ax-icn 8812 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
7776a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
7868recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
7977, 78, 52mulassd 8874 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  B
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
8075, 79eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  B ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
8166, 80oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  x.  ( vol `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
8210recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
83 mulcl 8837 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
8476, 78, 83sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
8582, 84, 52adddird 8876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  B )
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
8681, 85eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
878, 86eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  =  ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
885, 87eqtr4d 2331 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   [,)cico 10674   Recre 11598   Imcim 11599   volcvol 18839   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  19402  itgulm  19800  ftc1cnnclem  25024  wallispilem2  27918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041
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