MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itggt0 Structured version   Unicode version

Theorem itggt0 19735
Description: The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0.1  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itggt0.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itggt0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itggt0  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itggt0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
53, 4mbfdm2 19532 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
6 itggt0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
74rpred 10650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
84rpge0d 10654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
9 elrege0 11009 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
107, 8, 9sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11 0re 9093 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
12 0le0 10083 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
13 elrege0 11009 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1411, 12, 13mpbir2an 888 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
1610, 15ifclda 3768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
1716adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
1917, 18fmptd 5895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
20 mblss 19429 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
215, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 19437 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2416adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
25 eldifn 3472 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2625adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
27 iffalse 3748 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
29 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3029mpteq2ia 4293 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3130, 3syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
3221, 23, 24, 28, 31mbfss 19540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
334rpgt0d 10653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  B )
3421sselda 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3529adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3635, 4eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
3718fvmpt2 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3834, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3938, 35eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  B )
4033, 39breqtrrd 4240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 x ) )
4140ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
42 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
43 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
44 nffvmpt1 5738 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )
4542, 43, 44nfbr 4258 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )
46 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )
47 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
4847breq2d 4226 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  <->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) ) )
4945, 46, 48cbvral 2930 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
5041, 49sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y ) )
5150r19.21bi 2806 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y ) )
525, 6, 19, 32, 51itg2gt0 19654 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
537, 1, 8itgposval 19689 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
5452, 53breqtrrd 4240 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    +oocpnf 9119    < clt 9122    <_ cle 9123   RR+crp 10614   [,)cico 10920   volcvol 19362  MblFncmbf 19508   S.2citg2 19510   L ^1cibl 19511   S.citg 19512
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  19925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cmp 17452  df-cncf 18910  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515  df-itg2 19516  df-ibl 19517  df-itg 19518  df-0p 19564
  Copyright terms: Public domain W3C validator