MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgioo Structured version   Unicode version

Theorem itgioo 19699
Description: Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgioo.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgioo.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgioo
StepHypRef Expression
1 ioossicc 10988 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3 itgioo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 itgioo.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 iccssre 10984 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
73rexrd 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
84rexrd 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211difeq1d 3456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  (
(/)  \  ( A (,) B ) ) )
13 0dif 3691 . . . . . . 7  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  =  (/)
14 0ss 3648 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  { A ,  B }
1513, 14eqsstri 3370 . . . . . 6  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  C_  { A ,  B }
1612, 15syl6eqss 3390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
17 uncom 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B
) )  =  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )
187adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
198adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
21 prunioo 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) )
2317, 22syl5req 2480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  =  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) )
2423difeq1d 3456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) ) )
25 difun2 3699 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )
2624, 25syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) ) )
27 difss 3466 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )  C_  { A ,  B }
2826, 27syl6eqss 3390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
2916, 28, 4, 3ltlecasei 9173 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B } )
30 prssi 3946 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
313, 4, 30syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  C_  RR )
32 prfi 7373 . . . . 5  |-  { A ,  B }  e.  Fin
33 ovolfi 19382 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
3432, 31, 33sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  { A ,  B }
)  =  0 )
35 ovolssnul 19375 . . . 4  |-  ( ( ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol * `  { A ,  B }
)  =  0 )  ->  ( vol * `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
3629, 31, 34, 35syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
37 itgioo.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
382, 6, 36, 37itgss3 19698 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. ( A (,) B
) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x ) )
3938simprd 450 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {cpr 3807   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   (,)cioo 10908   [,]cicc 10911   vol *covol 19351   L ^1cibl 19501   S.citg 19502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-itg 19508
  Copyright terms: Public domain W3C validator