MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgioo Unicode version

Theorem itgioo 19574
Description: Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgioo.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgioo.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgioo
StepHypRef Expression
1 ioossicc 10928 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3 itgioo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 itgioo.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 iccssre 10924 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
73rexrd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
84rexrd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 10896 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211difeq1d 3407 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  (
(/)  \  ( A (,) B ) ) )
13 0dif 3642 . . . . . . 7  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  =  (/)
14 0ss 3599 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  { A ,  B }
1513, 14eqsstri 3321 . . . . . 6  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  C_  { A ,  B }
1612, 15syl6eqss 3341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
17 uncom 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B
) )  =  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )
187adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
198adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
21 prunioo 10957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) )
2317, 22syl5req 2432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  =  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) )
2423difeq1d 3407 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) ) )
25 difun2 3650 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )
2624, 25syl6eq 2435 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) ) )
27 difss 3417 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )  C_  { A ,  B }
2826, 27syl6eqss 3341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
2916, 28, 4, 3ltlecasei 9114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B } )
30 prssi 3897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
313, 4, 30syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  C_  RR )
32 prfi 7317 . . . . 5  |-  { A ,  B }  e.  Fin
33 ovolfi 19257 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol * `  { A ,  B } )  =  0 )
3432, 31, 33sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  { A ,  B }
)  =  0 )
35 ovolssnul 19250 . . . 4  |-  ( ( ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol * `  { A ,  B }
)  =  0 )  ->  ( vol * `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
3629, 31, 34, 35syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
37 itgioo.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
382, 6, 36, 37itgss3 19573 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. ( A (,) B
) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x ) )
3938simprd 450 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3260    u. cun 3261    C_ wss 3263   (/)c0 3571   {cpr 3758   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   (,)cioo 10848   [,]cicc 10851   vol *covol 19226   L ^1cibl 19376   S.citg 19377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cmp 17372  df-ovol 19228  df-vol 19229  df-mbf 19379  df-itg1 19380  df-itg2 19381  df-ibl 19382  df-itg 19383
  Copyright terms: Public domain W3C validator