MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgitg1 Unicode version

Theorem itgitg1 19179
Description: Transfer an integral using  S.1 to an equivalent integral using  S.. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgitg1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR ( F `  x )  _d x  =  ( S.1 `  F
) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem itgitg1
StepHypRef Expression
1 i1ff 19047 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
2 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
31, 2sylan 457 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
41feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
5 i1fibl 19178 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L ^1 )
64, 5eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L ^1 )
73, 6itgreval 19167 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR ( F `  x )  _d x  =  ( S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  -  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x ) )
8 0re 8854 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  e.  RR )
103, 8, 9sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
11 max1 10530 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
128, 3, 11sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
13 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  dom  S.1 )
144, 13eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  dom  S.1 )
1514i1fposd 19078 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
16 i1fibl 19178 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
1715, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
1810, 12, 17itgitg2 19177 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
1912ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
20 reex 8844 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
2120a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
228a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
23 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2423a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
25 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2621, 22, 10, 24, 25ofrfval2 6112 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2719, 26mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
28 ax-resscn 8810 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2928a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  C_  CC )
30 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
3110, 30fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
32 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
3331, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
3429, 330pledm 19044 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3527, 34mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0 p  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
36 itg2itg1 19107 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3715, 35, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3818, 37eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
393renegcld 9226 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( F `  x )  e.  RR )
40 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( F `  x )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
4139, 8, 40sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
42 max1 10530 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
438, 39, 42sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
44 1re 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
4544renegcli 9124 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
4645a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
47 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u
1 )
4847a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { -u
1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u 1 ) )
4921, 46, 3, 48, 4offval2 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) ) ) )
503recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5150mulm1d 9247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) )  =  -u ( F `  x ) )
5251mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  (
-u 1  x.  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
5349, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
5445a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  -u
1  e.  RR )
5513, 54i1fmulc 19074 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  e.  dom  S.1 )
5653, 55eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) )  e.  dom  S.1 )
5756i1fposd 19078 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
58 i1fibl 19178 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5957, 58syl 15 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6041, 43, 59itgitg2 19177 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
6143ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
62 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6321, 22, 41, 24, 62ofrfval2 6112 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6461, 63mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
65 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6641, 65fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
67 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
6866, 67syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
6929, 680pledm 19044 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7064, 69mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0 p  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
71 itg2itg1 19107 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7257, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7360, 72eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7438, 73oveq12d 5892 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  -  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
75 itg1sub 19080 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
7615, 57, 75syl2anc 642 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
7774, 76eqtr4d 2331 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  -  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x )  =  ( S.1 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
78 max0sub 10539 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
793, 78syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
8079mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
8121, 10, 41, 25, 62offval2 6111 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
8280, 81, 43eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  F )
8382fveq2d 5545 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.1 `  F ) )
847, 77, 833eqtrd 2332 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR ( F `  x )  _d x  =  ( S.1 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    o Rcofr 6093   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   S.1citg1 18986   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988   S.citg 18989   0 pc0p 19040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041
  Copyright terms: Public domain W3C validator