MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgitg1 Structured version   Unicode version

Theorem itgitg1 19702
Description: Transfer an integral using  S.1 to an equivalent integral using  S.. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgitg1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR ( F `  x )  _d x  =  ( S.1 `  F
) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem itgitg1
StepHypRef Expression
1 i1ff 19570 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
21ffvelrnda 5872 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
31feqmptd 5781 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
4 i1fibl 19701 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  L ^1 )
53, 4eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  L ^1 )
62, 5itgreval 19690 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR ( F `  x )  _d x  =  ( S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  -  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x ) )
7 0re 9093 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
8 ifcl 3777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  e.  RR )
92, 7, 8sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
10 max1 10775 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
117, 2, 10sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
12 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  e.  dom  S.1 )
133, 12eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) )  e.  dom  S.1 )
1413i1fposd 19601 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
15 i1fibl 19701 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
179, 11, 16itgitg2 19700 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
1811ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
19 reex 9083 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
217a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
22 fconstmpt 4923 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
24 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2520, 21, 9, 23, 24ofrfval2 6325 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2618, 25mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
27 ax-resscn 9049 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  C_  CC )
29 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
309, 29fmptd 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
31 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
3328, 320pledm 19567 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3426, 33mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0 p  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
35 itg2itg1 19630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3614, 34, 35syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3717, 36eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
382renegcld 9466 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( F `  x )  e.  RR )
39 ifcl 3777 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( F `  x )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
4038, 7, 39sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
41 max1 10775 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
427, 38, 41sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
43 1re 9092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
4443renegcli 9364 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
46 fconstmpt 4923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR 
X.  { -u 1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u
1 )
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { -u
1 } )  =  ( x  e.  RR  |->  -u 1 ) )
4820, 45, 2, 47, 3offval2 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) ) ) )
492recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5049mulm1d 9487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  ( F `  x
) )  =  -u ( F `  x ) )
5150mpteq2dva 4297 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  (
-u 1  x.  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
5248, 51eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) ) )
5344a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  -u
1  e.  RR )
5412, 53i1fmulc 19597 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  o F  x.  F )  e.  dom  S.1 )
5552, 54eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  -u ( F `  x ) )  e.  dom  S.1 )
5655i1fposd 19601 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
57 i1fibl 19701 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5856, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5940, 42, 58itgitg2 19700 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
6042ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
61 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6220, 21, 40, 23, 61ofrfval2 6325 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6360, 62mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { 0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
64 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )
6540, 64fmptd 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
66 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> RR  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
6765, 66syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
6828, 670pledm 19567 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  <-> 
( RR  X.  {
0 } )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
6963, 68mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0 p  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
70 itg2itg1 19630 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  0 p  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7156, 69, 70syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7259, 71eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x  =  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
7337, 72oveq12d 6101 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  -  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
74 itg1sub 19603 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
7514, 56, 74syl2anc 644 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
7673, 75eqtr4d 2473 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S. RR if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  _d x  -  S. RR if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 )  _d x )  =  ( S.1 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) )
77 max0sub 10784 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
782, 77syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
7978mpteq2dva 4297 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( x  e.  RR  |->  ( if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
8020, 9, 40, 24, 61offval2 6324 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
8179, 80, 33eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  F )
8281fveq2d 5734 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  o F  -  ( x  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.1 `  F ) )
836, 76, 823eqtrd 2474 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  S. RR ( F `  x )  _d x  =  ( S.1 `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   dom cdm 4880    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    o Rcofr 6306   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294   S.1citg1 19509   S.2citg2 19510   L ^1cibl 19511   S.citg 19512   0 pc0p 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cmp 17452  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515  df-itg2 19516  df-ibl 19517  df-itg 19518  df-0p 19564
  Copyright terms: Public domain W3C validator