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Theorem itgle 19164
Description: Monotonicity of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgle.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgle.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
itgle.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgle.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgle.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgle  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgle
StepHypRef Expression
1 itgle.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 itgle.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32iblrelem 19145 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
41, 3mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
54simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
6 itgle.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
7 itgle.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
87iblrelem 19145 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
96, 8mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
109simp3d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR )
119simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
124simp3d 969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR )
132ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
1413rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
15 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  B
)
16 elxrge0 10747 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
1714, 15, 16sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
18 0xr 8878 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
19 0le0 9827 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
20 elxrge0 10747 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
2118, 19, 20mpbir2an 886 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
2221a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2317, 22ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
24 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
2523, 24fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
267ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR )
2726rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
28 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  <_  C
)
29 elxrge0 10747 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )
3027, 28, 29sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3121a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3230, 31ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
33 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
3432, 33fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
35 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
36 max1 10514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3735, 7, 36sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
38 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
397, 35, 38sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
40 itgle.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
41 max2 10516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4235, 7, 41sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
432, 7, 39, 40, 42letrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
4435a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
45 maxle 10519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4644, 2, 39, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <->  ( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4737, 43, 46mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
48 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
4948adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
50 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
5150adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
5247, 49, 513brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5352ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) ) )
5419a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
55 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
56 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
5754, 55, 563brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5853, 57pm2.61d1 151 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) )
59 ifan 3604 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
60 ifan 3604 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )
6158, 59, 603brtr4g 4055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
6261ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
63 reex 8828 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
6463a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
65 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )
66 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6764, 23, 32, 65, 66ofrfval2 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6862, 67mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
69 itg2le 19094 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
7025, 34, 68, 69syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
717renegcld 9210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
7271ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR )
7372rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR* )
74 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  0  <_  -u C
)
75 elxrge0 10747 . . . . . . 7  |-  ( -u C  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( -u C  e.  RR*  /\  0  <_  -u C ) )
7673, 74, 75sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
7721a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7876, 77ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
79 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )
8078, 79fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
812renegcld 9210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
8281ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR )
8382rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR* )
84 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  -u B
)
85 elxrge0 10747 . . . . . . 7  |-  ( -u B  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( -u B  e.  RR*  /\  0  <_  -u B ) )
8683, 84, 85sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8721a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8886, 87ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
89 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
9088, 89fmptd 5684 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
91 max1 10514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9235, 81, 91sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
93 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
9481, 35, 93sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
952, 7lenegd 9351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
9640, 95mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_ 
-u B )
97 max2 10516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9835, 81, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9971, 81, 94, 96, 98letrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
100 maxle 10519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
10144, 71, 94, 100syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
10292, 99, 101mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
103 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
104103adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
105 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
106105adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
107102, 104, 1063brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
108107ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )
109 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
110 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
11154, 109, 1103brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
112108, 111pm2.61d1 151 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
113 ifan 3604 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )
114 ifan 3604 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )
115112, 113, 1143brtr4g 4055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )
116115ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
117 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )
118 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
11964, 78, 88, 117, 118ofrfval2 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
120116, 119mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )
121 itg2le 19094 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) )
12280, 90, 120, 121syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) ) ) )
1235, 10, 11, 12, 70, 122le2subd 9391 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
1242, 1itgrevallem1 19149 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
1257, 6itgrevallem1 19149 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
126123, 124, 1253brtr4d 4053 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Rcofr 6077   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   [,]cicc 10659  MblFncmbf 18969   S.2citg2 18971   L ^1cibl 18972   S.citg 18973
This theorem is referenced by:  itgge0  19165  itgless  19171  itgabs  19189  itgulm  19784  wallispilem1  27814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025
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