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Theorem itgle 19701
Description: Monotonicity of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgle.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgle.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
itgle.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgle.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgle.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgle  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgle
StepHypRef Expression
1 itgle.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 itgle.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32iblrelem 19682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
41, 3mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
54simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
6 itgle.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
7 itgle.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
87iblrelem 19682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
96, 8mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
109simp3d 971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR )
119simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
124simp3d 971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR )
132ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
1413rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
15 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  B
)
16 elxrge0 11008 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
1714, 15, 16sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
18 0xr 9131 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
19 0le0 10081 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
20 elxrge0 11008 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
2118, 19, 20mpbir2an 887 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2317, 22ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
24 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
2523, 24fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
267ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR )
2726rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
28 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  <_  C
)
29 elxrge0 11008 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )
3027, 28, 29sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3121a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3230, 31ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
33 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
3432, 33fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
35 0re 9091 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
36 max1 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3735, 7, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
38 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
397, 35, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
40 itgle.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
41 max2 10775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4235, 7, 41sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
432, 7, 39, 40, 42letrd 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
4435a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
45 maxle 10778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4644, 2, 39, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <->  ( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4737, 43, 46mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
48 iftrue 3745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
4948adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
50 iftrue 3745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
5150adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
5247, 49, 513brtr4d 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5352ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) ) )
5419a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
55 iffalse 3746 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
56 iffalse 3746 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
5754, 55, 563brtr4d 4242 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5853, 57pm2.61d1 153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) )
59 ifan 3778 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
60 ifan 3778 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )
6158, 59, 603brtr4g 4244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
6261ralrimivw 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
63 reex 9081 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
65 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )
66 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6764, 23, 32, 65, 66ofrfval2 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6862, 67mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
69 itg2le 19631 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
7025, 34, 68, 69syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
717renegcld 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
7271ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR )
7372rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR* )
74 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  0  <_  -u C
)
75 elxrge0 11008 . . . . . . 7  |-  ( -u C  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( -u C  e.  RR*  /\  0  <_  -u C ) )
7673, 74, 75sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
7721a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7876, 77ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
79 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )
8078, 79fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
812renegcld 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
8281ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR )
8382rexrd 9134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR* )
84 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  -u B
)
85 elxrge0 11008 . . . . . . 7  |-  ( -u B  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( -u B  e.  RR*  /\  0  <_  -u B ) )
8683, 84, 85sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8721a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
8886, 87ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
89 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
9088, 89fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
91 max1 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9235, 81, 91sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
93 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
9481, 35, 93sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
952, 7lenegd 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
9640, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_ 
-u B )
97 max2 10775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9835, 81, 97sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9971, 81, 94, 96, 98letrd 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
100 maxle 10778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
10144, 71, 94, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
10292, 99, 101mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
103 iftrue 3745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
104103adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
105 iftrue 3745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
106105adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
107102, 104, 1063brtr4d 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
108107ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )
109 iffalse 3746 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
110 iffalse 3746 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
11154, 109, 1103brtr4d 4242 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
112108, 111pm2.61d1 153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
113 ifan 3778 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )
114 ifan 3778 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )
115112, 113, 1143brtr4g 4244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )
116115ralrimivw 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
117 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )
118 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
11964, 78, 88, 117, 118ofrfval2 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
120116, 119mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )
121 itg2le 19631 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  o R  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) )
12280, 90, 120, 121syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) ) ) )
1235, 10, 11, 12, 70, 122le2subd 9645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
1242, 1itgrevallem1 19686 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
1257, 6itgrevallem1 19686 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
126123, 124, 1253brtr4d 4242 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Rcofr 6304   RRcr 8989   0cc0 8990    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   [,]cicc 10919  MblFncmbf 19506   S.2citg2 19508   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  itgge0  19702  itgless  19708  itgabs  19726  itgulm  20324  itgabsnc  26274  wallispilem1  27790
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562
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