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Theorem itgmulc2 19188
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21recld 11679 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
32recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  CC )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
5 itgmulc2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 18992 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
109recld 11679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
124, 11mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
139iblcn 19153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
145, 13mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
1514simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
163, 10, 15iblmulc2 19185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L ^1 )
1712, 16itgcl 19138 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
18 ax-icn 8796 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
199imcld 11680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
2019recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
214, 20mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
2214simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
233, 19, 22iblmulc2 19185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L ^1 )
2421, 23itgcl 19138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
25 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
2618, 24, 25sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
271imcld 11680 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
2827renegcld 9210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
2928recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  CC )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  CC )
3130, 20mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3229, 19, 22iblmulc2 19185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  L ^1 )
3331, 32itgcl 19138 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
3427recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  CC )
3534adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
3635, 11mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
3734, 10, 15iblmulc2 19185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L ^1 )
3836, 37itgcl 19138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
39 mulcl 8821 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4018, 38, 39sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4117, 26, 33, 40add4d 9035 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
42 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  C )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
4318, 34, 42sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
448, 5itgcl 19138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
453, 43, 44adddird 8860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x ) ) )
468, 5itgcnval 19154 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
4746oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
4810, 15itgcl 19138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
4919, 22itgcl 19138 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
50 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
5118, 49, 50sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
523, 48, 51adddid 8859 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
533, 10, 15, 2, 10itgmulc2lem2 19187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
5418a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
553, 54, 49mul12d 9021 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) ) )
563, 19, 22, 2, 19itgmulc2lem2 19187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
5756oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Re `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
5855, 57eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
5953, 58oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
6047, 52, 593eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
6146oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
6243, 48, 51adddid 8859 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
6354, 34, 48mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x ) ) )
6434, 10, 15, 27, 10itgmulc2lem2 19187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
6564oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
6663, 65eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) )
6754, 34, 54, 49mul4d 9024 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
68 ixi 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
6968oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
7034, 49mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
7170mulm1d 9231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
7269, 71syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  -u (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
7334, 49mulneg1d 9232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
7429, 19, 22, 28, 19itgmulc2lem2 19187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
7573, 74eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
7667, 72, 753eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
7766, 76oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
7840, 33addcomd 9014 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  =  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
7977, 78eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
8061, 62, 793eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
8160, 80oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  S. A B  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) ) )
8245, 81eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )  +  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
8335, 20mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
8412, 83negsubd 9163 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  -u (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
8535, 20mulneg1d 9232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
8685oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  + 
-u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
871adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8887, 9remuld 11703 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
8984, 86, 883eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
9089itgeq2dv 19136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  S. A
( Re `  ( C  x.  B )
)  _d x )
9112, 16, 31, 32itgadd 19179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
9290, 91eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
9387, 9immuld 11704 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
9493itgeq2dv 19136 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  _d x )
9521, 23, 36, 37itgadd 19179 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9694, 95eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9796oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
9854, 24, 38adddid 8859 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
9997, 98eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
10092, 99oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( C  x.  B )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
10141, 82, 1003eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
1021replimd 11682 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( ( Re `  C )  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) ) )
103102oveq1d 5873 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) )  x.  S. A B  _d x ) )
10487, 9mulcld 8855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
1051, 8, 5iblmulc2 19185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
106104, 105itgcnval 19154 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
107101, 103, 1063eqtr4d 2325 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038   Recre 11582   Imcim 11583  MblFncmbf 18969   L ^1cibl 18972   S.citg 18973
This theorem is referenced by:  itgabs  19189  itgsinexplem1  27748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025
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