MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Unicode version

Theorem itgmulc2lem1 19583
Description: Lemma for itgmulc2 19585: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgmulc2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgmulc2.6  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
itgmulc2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3 elrege0 10932 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5 0re 9017 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
6 0le0 10006 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
7 elrege0 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
85, 6, 7mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
104, 9ifclda 3702 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
12 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
1311, 12fmptd 5825 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
14 itgmulc2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
151, 2iblpos 19544 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1614, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1716simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
18 itgmulc2.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
19 itgmulc2.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
20 elrege0 10932 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
2118, 19, 20sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2213, 17, 21itg2mulc 19499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( C  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
23 reex 9007 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
2518adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
26 fconstmpt 4854 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  { C }
)  =  ( x  e.  RR  |->  C )
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  { C } )  =  ( x  e.  RR  |->  C ) )
28 eqidd 2381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
2924, 25, 11, 27, 28offval2 6254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
30 oveq2 6021 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B  ->  ( C  x.  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( C  x.  B ) )
31 oveq2 6021 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0  ->  ( C  x.  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( C  x.  0 ) )
3230, 31ifsb 3684 . . . . . . 7  |-  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  ( C  x.  0 ) )
33 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3433mul01d 9190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3534adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3635ifeq2d 3690 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  ( C  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) )
3732, 36syl5eq 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) )
3837mpteq2dva 4229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) )
3929, 38eqtrd 2412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) )
4039fveq2d 5665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  0 ) ) ) )
4122, 40eqtr3d 2414 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  0 ) ) ) )
421, 14, 2itgposval 19547 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4342oveq2d 6029 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( C  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
4418adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
4544, 1remulcld 9042 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  RR )
46 itgmulc2.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
4733, 46, 14iblmulc2 19582 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
4819adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
4944, 1, 48, 2mulge0d 9528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( C  x.  B
) )
5045, 47, 49itgposval 19547 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) ) )
5141, 43, 503eqtr4d 2422 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   ifcif 3675   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    x. cmul 8921    +oocpnf 9043    <_ cle 9047   [,)cico 10843  MblFncmbf 19366   S.2citg2 19368   L ^1cibl 19369   S.citg 19370
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  19584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cc 8241  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-disj 4117  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-cmp 17365  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-ovol 19221  df-vol 19222  df-mbf 19372  df-itg1 19373  df-itg2 19374  df-ibl 19375  df-itg 19376  df-0p 19422
  Copyright terms: Public domain W3C validator