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Theorem itgmulc2lem2 19727
Description: Lemma for itgmulc2 19728: real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgmulc2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2lem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
21adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3 max0sub 10787 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
54oveq1d 6099 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( C  x.  B ) )
6 0re 9096 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
81, 6, 7sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
98recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  CC )
109adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
111renegcld 9469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u C  e.  RR )
12 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1311, 6, 12sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
1514adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
16 itgmulc2.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1716recnd 9119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1810, 15, 17subdird 9495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
195, 18eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
2019itgeq2dv 19676 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x )
218adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
2221, 16remulcld 9121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  e.  RR )
23 itgmulc2.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
24 itgmulc2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
259, 23, 24iblmulc2 19725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L ^1 )
2613adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2726, 16remulcld 9121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  e.  RR )
2814, 23, 24iblmulc2 19725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L ^1 )
2922, 25, 27, 28itgsub 19720 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x ) )
30 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
3116, 6, 30sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
3221, 31remulcld 9121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  RR )
3316iblre 19688 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
3424, 33mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
3534simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1 )
369, 31, 35iblmulc2 19725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e.  L ^1 )
3716renegcld 9469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
38 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
3937, 6, 38sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
4021, 39remulcld 9121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  RR )
4134simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 )
429, 39, 41iblmulc2 19725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L ^1 )
4332, 36, 40, 42itgsub 19720 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
44 max0sub 10787 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4516, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4645oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
) )
4731recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
4839recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
4910, 47, 48subdid 9494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
5046, 49eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
5150itgeq2dv 19676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
5216, 24itgreval 19691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
5352oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
5431, 35itgcl 19678 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
5539, 41itgcl 19678 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
569, 54, 55subdid 9494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
57 max1 10778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
586, 1, 57sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
59 max1 10778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
606, 16, 59sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
619, 31, 35, 8, 31, 58, 60itgmulc2lem1 19726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
62 max1 10778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
636, 37, 62sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
649, 39, 41, 8, 39, 58, 63itgmulc2lem1 19726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
6561, 64oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
6653, 56, 653eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
6743, 51, 663eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
6826, 31remulcld 9121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  RR )
6914, 31, 35iblmulc2 19725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e.  L ^1 )
7026, 39remulcld 9121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  RR )
7114, 39, 41iblmulc2 19725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L ^1 )
7268, 69, 70, 71itgsub 19720 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
7345oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )
7415, 47, 48subdid 9494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
7573, 74eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
7675itgeq2dv 19676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
7752oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
7814, 54, 55subdid 9494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
79 max1 10778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
806, 11, 79sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
8114, 31, 35, 13, 31, 80, 60itgmulc2lem1 19726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
8214, 39, 41, 13, 39, 80, 63itgmulc2lem1 19726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
8381, 82oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
8477, 78, 833eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
8572, 76, 843eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
8667, 85oveq12d 6102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
8723, 24itgcl 19678 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
889, 14, 87subdird 9495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
891, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
9089oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x
) )
9186, 88, 903eqtr2d 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x ) )
9220, 29, 913eqtrrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995    x. cmul 9000    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   L ^1cibl 19514   S.citg 19515
This theorem is referenced by:  itgmulc2  19728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cc 8320  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517  df-itg2 19518  df-ibl 19519  df-itg 19520  df-0p 19565
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