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Theorem itgmulc2nc 26263
Description: Choice-free analogue of itgmulc2 19717. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nc  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21recld 11991 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
32recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  CC )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 19521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
109recld 11991 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
124, 11mulcld 9100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
139iblcn 19682 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
145, 13mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
1514simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
16 itgmulc2nc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
17 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  x.  B )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  _V )
1916, 18mbfdm2 19522 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 fconstmpt 4913 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  C ) )
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Re `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) ) )
22 eqidd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
2319, 4, 10, 21, 22offval2 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
24 iblmbf 19651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
2515, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
26 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )
2711, 26fmptd 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) : A --> CC )
2825, 2, 27mbfmulc2re 19532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
2923, 28eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
303, 10, 15, 29iblmulc2nc 26260 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L ^1 )
3112, 30itgcl 19667 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
32 ax-icn 9041 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
339imcld 11992 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3433recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
354, 34mulcld 9100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3614simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
37 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
3819, 4, 33, 21, 37offval2 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
39 iblmbf 19651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
4036, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
41 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )
4234, 41fmptd 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) : A --> CC )
4340, 2, 42mbfmulc2re 19532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
4438, 43eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
453, 33, 36, 44iblmulc2nc 26260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L ^1 )
4635, 45itgcl 19667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
47 mulcl 9066 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4832, 46, 47sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
491imcld 11992 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
5049recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  CC )
5150negcld 9390 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  CC )
5251adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  CC )
5352, 34mulcld 9100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
54 fconstmpt 4913 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { -u (
Im `  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  -u ( Im `  C ) )
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u ( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) ) )
5619, 52, 33, 55, 37offval2 6314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5749renegcld 9456 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
5840, 57, 42mbfmulc2re 19532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
5956, 58eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e. MblFn
)
6051, 33, 36, 59iblmulc2nc 26260 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  L ^1 )
6153, 60itgcl 19667 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
6250adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6362, 11mulcld 9100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
64 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { ( Im
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  C ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) ) )
6619, 62, 10, 65, 22offval2 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
6725, 49, 27mbfmulc2re 19532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
6866, 67eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
6950, 10, 15, 68iblmulc2nc 26260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L ^1 )
7063, 69itgcl 19667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
71 mulcl 9066 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7232, 70, 71sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7331, 48, 61, 72add4d 9281 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
7432a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
7574, 50mulcld 9100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
768, 5itgcl 19667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
773, 75, 76adddird 9105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x ) ) )
788, 5itgcnval 19683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
7978oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
8010, 15itgcl 19667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
8133, 36itgcl 19667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
82 mulcl 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
8332, 81, 82sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
843, 80, 83adddid 9104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
853, 10, 15, 29, 2, 10itgmulc2nclem2 26262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
863, 74, 81mul12d 9267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) ) )
873, 33, 36, 44, 2, 33itgmulc2nclem2 26262 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
8887oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Re `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
8986, 88eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
9085, 89oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9179, 84, 903eqtrd 2471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9278oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9375, 80, 83adddid 9104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9474, 50, 80mulassd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x ) ) )
9550, 10, 15, 68, 49, 10itgmulc2nclem2 26262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
9695oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9794, 96eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) )
9874, 50, 74, 81mul4d 9270 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
99 ixi 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
10099oveq1i 6083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10150, 81mulcld 9100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
102101mulm1d 9477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
103100, 102syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  -u (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
10450, 81mulneg1d 9478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10551, 33, 36, 59, 57, 33itgmulc2nclem2 26262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
106104, 105eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
10798, 103, 1063eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
10897, 107oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
10972, 61addcomd 9260 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  =  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
110108, 109eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11192, 93, 1103eqtrd 2471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11291, 111oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  S. A B  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) ) )
11377, 112eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )  +  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
11462, 34mulcld 9100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
11519, 62, 33, 65, 37offval2 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
11640, 49, 42mbfmulc2re 19532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
117115, 116eqeltrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
11850, 33, 36, 117iblmulc2nc 26260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L ^1 )
1191adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
120119, 9mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
121 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )
122 ref 11909 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
124123feqmptd 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( k  e.  CC  |->  ( Re
`  k ) ) )
125 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Re `  k )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
126120, 121, 124, 125fmptco 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B ) ) ) )
127119, 9remuld 12015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
128127mpteq2dva 4287 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
129126, 128eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
130 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
131120, 130fmptd 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
132 ismbfcn 19515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
13416, 133mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
)
135134simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
136129, 135eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
13712, 30, 114, 118, 136itgsubnc 26257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
138127itgeq2dv 19665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  _d x )
139114, 118itgneg 19687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x )
14062, 34mulneg1d 9478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
141140itgeq2dv 19665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
142139, 141eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
143142oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
144114, 118itgcl 19667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
14531, 144negsubd 9409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
146143, 145eqtr3d 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
147137, 138, 1463eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
148119, 9immuld 12016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
149148itgeq2dv 19665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  _d x )
150 imf 11910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
152151feqmptd 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( k  e.  CC  |->  ( Im
`  k ) ) )
153 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Im `  k )  =  ( Im `  ( C  x.  B
) ) )
154120, 121, 152, 153fmptco 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B ) ) ) )
155148mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
156154, 155eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
157134simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
158156, 157eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
15935, 45, 63, 69, 158itgaddnc 26255 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
160149, 159eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
161160oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
16274, 46, 70adddid 9104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
163161, 162eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
164147, 163oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( C  x.  B )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
16573, 113, 1643eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
1661replimd 11994 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( ( Re `  C )  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) ) )
167166oveq1d 6088 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) )  x.  S. A B  _d x ) )
1681, 8, 5, 16iblmulc2nc 26260 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
169120, 168itgcnval 19683 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
170165, 167, 1693eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   dom cdm 4870    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   CCcc 8980   RRcr 8981   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   -ucneg 9284   Recre 11894   Imcim 11895   volcvol 19352  MblFncmbf 19498   L ^1cibl 19501   S.citg 19502
This theorem is referenced by:  itgabsnc  26264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-itg 19508  df-0p 19554
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