MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgneg Unicode version

Theorem itgneg 19678
Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgneg  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  S. A -u B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19642 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcnval.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65recld 11982 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
75iblcn 19673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
81, 7mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
98simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
106, 9itgcl 19658 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
11 ax-icn 9033 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
125imcld 11983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
138simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
1412, 13itgcl 19658 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
15 mulcl 9058 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
1611, 14, 15sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
1710, 16negdid 9408 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  (
-u S. A ( Re `  B )  _d x  +  -u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
18 0re 9075 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 )  e.  RR )
206, 18, 19sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
216iblre 19668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
229, 21mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
2322simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2420, 23itgcl 19658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
256renegcld 9448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  e.  RR )
26 ifcl 3762 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
2725, 18, 26sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
2822simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2927, 28itgcl 19658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
3024, 29negsubdi2d 9411 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
316, 9itgreval 19671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
3231negeqd 9284 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Re `  B )  _d x  =  -u ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
335negcld 9382 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
3433recld 11982 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  e.  RR )
354, 1iblneg 19677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L ^1 )
3633iblcn 19673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L ^1 ) ) )
3735, 36mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 ) )
3837simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1 )
3934, 38itgreval 19671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
405renegd 11997 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
4140breq2d 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Re `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Re `  B ) ) )
42 eqidd 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  =  0 )
4341, 40, 42ifbieq12d 3748 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
4443itgeq2dv 19656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )
4540negeqd 9284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  -u -u ( Re `  B ) )
466recnd 9098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4746negnegd 9386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Re `  B )  =  ( Re `  B ) )
4845, 47eqtrd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  ( Re `  B ) )
4948breq2d 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Re
`  -u B )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
5049, 48, 42ifbieq12d 3748 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
5150itgeq2dv 19656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  -u B ) , 
-u ( Re `  -u B ) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )
5244, 51oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
5339, 52eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
5430, 32, 533eqtr4d 2472 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Re `  B )  _d x  =  S. A ( Re `  -u B )  _d x )
55 mulneg2 9455 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  -u (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
5611, 14, 55sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  -u (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
57 ifcl 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 )  e.  RR )
5812, 18, 57sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
5912iblre 19668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
6013, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
6160simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6258, 61itgcl 19658 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
6312renegcld 9448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  e.  RR )
64 ifcl 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( Im `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6563, 18, 64sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6660simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6765, 66itgcl 19658 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
6862, 67negsubdi2d 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
695imnegd 11998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
7069breq2d 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Im `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Im `  B ) ) )
7170, 69, 42ifbieq12d 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7271itgeq2dv 19656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )
7369negeqd 9284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  -u -u ( Im `  B ) )
7412recnd 9098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
7574negnegd 9386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Im `  B )  =  ( Im `  B ) )
7673, 75eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  ( Im `  B ) )
7776breq2d 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Im
`  -u B )  <->  0  <_  ( Im `  B ) ) )
7877, 76, 42ifbieq12d 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )
7978itgeq2dv 19656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  -u B ) , 
-u ( Im `  -u B ) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )
8072, 79oveq12d 6085 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8168, 80eqtr4d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
8212, 13itgreval 19671 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8382negeqd 9284 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Im `  B )  _d x  =  -u ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8433imcld 11983 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  e.  RR )
8537simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 )
8684, 85itgreval 19671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
8781, 83, 863eqtr4d 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Im `  B )  _d x  =  S. A ( Im `  -u B )  _d x )
8887oveq2d 6083 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) )
8956, 88eqtr3d 2464 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) )
9054, 89oveq12d 6085 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u S. A
( Re `  B
)  _d x  +  -u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( S. A ( Re
`  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) ) )
9117, 90eqtrd 2462 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( S. A ( Re
`  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) ) )
924, 1itgcnval 19674 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
9392negeqd 9284 . 2  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  -u ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
9433, 35itgcnval 19674 . 2  |-  ( ph  ->  S. A -u B  _d x  =  ( S. A ( Re `  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B )  _d x ) ) )
9591, 93, 943eqtr4d 2472 1  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  S. A -u B  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3726   class class class wbr 4199    e. cmpt 4253   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974   _ici 8976    + caddc 8977    x. cmul 8979    <_ cle 9105    - cmin 9275   -ucneg 9276   Recre 11885   Imcim 11886  MblFncmbf 19489   L ^1cibl 19492   S.citg 19493
This theorem is referenced by:  itgsub  19700  itgsubnc  26208  itgmulc2nc  26214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-disj 4170  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-ofr 6292  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xadd 10695  df-ioo 10904  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-hash 11602  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-clim 12265  df-sum 12463  df-xmet 16678  df-met 16679  df-ovol 19344  df-vol 19345  df-mbf 19495  df-itg1 19496  df-itg2 19497  df-ibl 19498  df-itg 19499  df-0p 19545
  Copyright terms: Public domain W3C validator