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Theorem itgneg 19698
Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgneg  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  S. A -u B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19662 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcnval.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65recld 12004 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
75iblcn 19693 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
81, 7mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
98simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
106, 9itgcl 19678 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
11 ax-icn 9054 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
125imcld 12005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
138simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
1412, 13itgcl 19678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
15 mulcl 9079 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
1611, 14, 15sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
1710, 16negdid 9429 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  (
-u S. A ( Re `  B )  _d x  +  -u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
18 0re 9096 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 )  e.  RR )
206, 18, 19sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
216iblre 19688 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
229, 21mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
2322simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2420, 23itgcl 19678 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
256renegcld 9469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  e.  RR )
26 ifcl 3777 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
2725, 18, 26sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
2822simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2927, 28itgcl 19678 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
3024, 29negsubdi2d 9432 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
316, 9itgreval 19691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
3231negeqd 9305 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Re `  B )  _d x  =  -u ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
335negcld 9403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
3433recld 12004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  e.  RR )
354, 1iblneg 19697 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L ^1 )
3633iblcn 19693 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L ^1 ) ) )
3735, 36mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 ) )
3837simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1 )
3934, 38itgreval 19691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
405renegd 12019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
4140breq2d 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Re `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Re `  B ) ) )
42 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  =  0 )
4341, 40, 42ifbieq12d 3763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
4443itgeq2dv 19676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )
4540negeqd 9305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  -u -u ( Re `  B ) )
466recnd 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4746negnegd 9407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Re `  B )  =  ( Re `  B ) )
4845, 47eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  ( Re `  B ) )
4948breq2d 4227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Re
`  -u B )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
5049, 48, 42ifbieq12d 3763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
5150itgeq2dv 19676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  -u B ) , 
-u ( Re `  -u B ) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )
5244, 51oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
5339, 52eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
5430, 32, 533eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Re `  B )  _d x  =  S. A ( Re `  -u B )  _d x )
55 mulneg2 9476 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  -u (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
5611, 14, 55sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  -u (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
57 ifcl 3777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 )  e.  RR )
5812, 18, 57sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
5912iblre 19688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
6013, 59mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
6160simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6258, 61itgcl 19678 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
6312renegcld 9469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  e.  RR )
64 ifcl 3777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( Im `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6563, 18, 64sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6660simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6765, 66itgcl 19678 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
6862, 67negsubdi2d 9432 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
695imnegd 12020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
7069breq2d 4227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Im `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Im `  B ) ) )
7170, 69, 42ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7271itgeq2dv 19676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )
7369negeqd 9305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  -u -u ( Im `  B ) )
7412recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
7574negnegd 9407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Im `  B )  =  ( Im `  B ) )
7673, 75eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  ( Im `  B ) )
7776breq2d 4227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Im
`  -u B )  <->  0  <_  ( Im `  B ) ) )
7877, 76, 42ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )
7978itgeq2dv 19676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  -u B ) , 
-u ( Im `  -u B ) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )
8072, 79oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8168, 80eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
8212, 13itgreval 19691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8382negeqd 9305 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Im `  B )  _d x  =  -u ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8433imcld 12005 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  e.  RR )
8537simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 )
8684, 85itgreval 19691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
8781, 83, 863eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Im `  B )  _d x  =  S. A ( Im `  -u B )  _d x )
8887oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) )
8956, 88eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) )
9054, 89oveq12d 6102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u S. A
( Re `  B
)  _d x  +  -u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( S. A ( Re
`  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) ) )
9117, 90eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( S. A ( Re
`  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) ) )
924, 1itgcnval 19694 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
9392negeqd 9305 . 2  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  -u ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
9433, 35itgcnval 19694 . 2  |-  ( ph  ->  S. A -u B  _d x  =  ( S. A ( Re `  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B )  _d x ) ) )
9591, 93, 943eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  S. A -u B  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   _ici 8997    + caddc 8998    x. cmul 9000    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   Recre 11907   Imcim 11908  MblFncmbf 19511   L ^1cibl 19514   S.citg 19515
This theorem is referenced by:  itgsub  19720  itgsubnc  26281  itgmulc2nc  26287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516  df-itg1 19517  df-itg2 19518  df-ibl 19519  df-itg 19520  df-0p 19565
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