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Theorem itgneg 19174
Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgneg  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  S. A -u B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19138 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcnval.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19008 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65recld 11695 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
75iblcn 19169 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
81, 7mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
98simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
106, 9itgcl 19154 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
11 ax-icn 8812 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
125imcld 11696 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
138simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
1412, 13itgcl 19154 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
15 mulcl 8837 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
1611, 14, 15sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
1710, 16negdid 9186 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  (
-u S. A ( Re `  B )  _d x  +  -u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
18 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 )  e.  RR )
206, 18, 19sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
216iblre 19164 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
229, 21mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
2322simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Re `  B
) ,  ( Re
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2420, 23itgcl 19154 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
256renegcld 9226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  e.  RR )
26 ifcl 3614 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u ( Re `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
2725, 18, 26sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  e.  RR )
2822simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Re `  B
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
2927, 28itgcl 19154 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
3024, 29negsubdi2d 9189 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
316, 9itgreval 19167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
3231negeqd 9062 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Re `  B )  _d x  =  -u ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
335negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
3433recld 11695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  e.  RR )
354, 1iblneg 19173 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e.  L ^1 )
3633iblcn 19169 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  -u B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B ) )  e.  L ^1 ) ) )
3735, 36mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 ) )
3837simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  -u B
) )  e.  L ^1 )
3934, 38itgreval 19167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B
) ,  -u (
Re `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
405renegd 11710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
4140breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Re `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Re `  B ) ) )
42 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  =  0 )
4341, 40, 42ifbieq12d 3600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  B ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 ) )
4443itgeq2dv 19152 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )
4540negeqd 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  -u -u ( Re `  B ) )
466recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
4746negnegd 9164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Re `  B )  =  ( Re `  B ) )
4845, 47eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  -u B )  =  ( Re `  B ) )
4948breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Re
`  -u B )  <->  0  <_  ( Re `  B ) ) )
5049, 48, 42ifbieq12d 3600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
5150itgeq2dv 19152 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Re
`  -u B ) , 
-u ( Re `  -u B ) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x )
5244, 51oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  (
Re `  -u B ) ,  ( Re `  -u B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  -u B ) ,  -u ( Re `  -u B
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u (
Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
5339, 52eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Re `  B ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  (
Re `  B ) ,  ( Re `  B ) ,  0 )  _d x ) )
5430, 32, 533eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Re `  B )  _d x  =  S. A ( Re `  -u B )  _d x )
55 mulneg2 9233 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  -u (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
5611, 14, 55sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  -u (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
57 ifcl 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 )  e.  RR )
5812, 18, 57sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
5912iblre 19164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
6013, 59mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
6160simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( Im `  B
) ,  ( Im
`  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6258, 61itgcl 19154 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
6312renegcld 9226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  e.  RR )
64 ifcl 3614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u ( Im `  B )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6563, 18, 64sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  e.  RR )
6660simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( Im `  B
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6765, 66itgcl 19154 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
6862, 67negsubdi2d 9189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
695imnegd 11711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
7069breq2d 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( Im `  -u B )  <->  0  <_  -u ( Im `  B ) ) )
7170, 69, 42ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  B ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 ) )
7271itgeq2dv 19152 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )
7369negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  -u -u ( Im `  B ) )
7412recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
7574negnegd 9164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u -u (
Im `  B )  =  ( Im `  B ) )
7673, 75eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  -u B )  =  ( Im `  B ) )
7776breq2d 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( Im
`  -u B )  <->  0  <_  ( Im `  B ) ) )
7877, 76, 42ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )
7978itgeq2dv 19152 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( Im
`  -u B ) , 
-u ( Im `  -u B ) ,  0 )  _d x  =  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )
8072, 79oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B ) ,  -u ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8168, 80eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A if ( 0  <_  (
Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
8212, 13itgreval 19167 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8382negeqd 9062 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Im `  B )  _d x  =  -u ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  B ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u (
Im `  B ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 )  _d x ) )
8433imcld 11696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  e.  RR )
8537simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  -u B
) )  e.  L ^1 )
8684, 85itgreval 19167 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  -u B )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( Im `  -u B ) ,  ( Im `  -u B
) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( Im `  -u B
) ,  -u (
Im `  -u B ) ,  0 )  _d x ) )
8781, 83, 863eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( Im `  B )  _d x  =  S. A ( Im `  -u B )  _d x )
8887oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  -u S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) )
8956, 88eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) )
9054, 89oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u S. A
( Re `  B
)  _d x  +  -u ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( S. A ( Re
`  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) ) )
9117, 90eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( S. A ( Re
`  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B
)  _d x ) ) )
924, 1itgcnval 19170 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
9392negeqd 9062 . 2  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  -u ( S. A ( Re
`  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
9433, 35itgcnval 19170 . 2  |-  ( ph  ->  S. A -u B  _d x  =  ( S. A ( Re `  -u B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  -u B )  _d x ) ) )
9591, 93, 943eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  -> 
-u S. A B  _d x  =  S. A -u B  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   Recre 11598   Imcim 11599  MblFncmbf 18985   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  itgsub  19196  itgsubnc  25013  itgmulc2nc  25019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041
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