MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgreval Unicode version

Theorem itgreval 19167
Description: Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgreval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgreval  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgreval
StepHypRef Expression
1 iblrelem.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgreval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
31, 2itgrevallem1 19165 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
4 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 ifcl 3614 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
61, 4, 5sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
71iblrelem 19161 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
82, 7mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
98simp1d 967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
101, 9mbfpos 19022 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
11 ifan 3617 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
1211mpteq2i 4119 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 ) )
1312fveq2i 5544 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 ) ) )
148simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
1513, 14syl5eqelr 2381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
16 max1 10530 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
174, 1, 16sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
186, 17iblpos 19163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1910, 15, 18mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1 )
206, 19, 17itgposval 19166 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
2120, 13syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) ) )
221renegcld 9226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
23 ifcl 3614 . . . . . 6  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2422, 4, 23sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
251, 9mbfneg 19021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
2622, 25mbfpos 19022 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
27 ifan 3617 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )
2827mpteq2i 4119 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
2928fveq2i 5544 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )
308simp3d 969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR )
3129, 30syl5eqelr 2381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
32 max1 10530 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
334, 22, 32sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
3424, 33iblpos 19163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3526, 31, 34mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 )
3624, 35, 33itgposval 19166 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
3736, 29syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) )
3821, 37oveq12d 5892 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
393, 38eqtr4d 2331 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  itgneg  19174  itgitg1  19179  itgaddlem2  19194  itgmulc2lem2  19203  itgaddnclem2  25010  itgmulc2nclem2  25018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041
  Copyright terms: Public domain W3C validator