Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgsin0pilem1 27721
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Distinct variable groups:    x, t    x, C
Allowed substitution hint:    C( t)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
2 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  x
) )
32negeqd 9301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  x
) )
43cbvmptv 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  t ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) )
51, 4eqtri 2457 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )
65oveq2i 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
7 ax-resscn 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
9 0re 9092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
10 pire 20373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
11 iccssre 10993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
129, 10, 11mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
1412, 7sstri 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615coscld 12733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1716adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1817negcld 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
19 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019tgioo2 18835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
21 iccntr 18853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
229, 10, 21mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi )
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 19858 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) ) )
2524trud 1333 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
26 reex 9082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
2726prid1 3913 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
29 recn 9081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
3029coscld 12733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3231negcld 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
3329sincld 12732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3433adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3533negcld 9399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
3635adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
37 dvcosre 27718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
3928, 31, 36, 38dvmptneg 19853 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
4033negnegd 9403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
4140mpteq2ia 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x
) )
4239, 41syl6eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
43 ioossre 10973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  RR )
45 iooretop 18801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
4728, 32, 34, 42, 44, 20, 19, 46dvmptres 19850 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
4847trud 1333 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
496, 25, 483eqtri 2461 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5049fveq1i 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)
5143, 7sstri 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5251sseli 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5352sincld 12732 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
54 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5554fvmpt2 5813 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  /\  ( sin `  x )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5653, 55mpdan 651 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5750, 56syl5eq 2481 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5857adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5958itgeq2dv 19674 . . . 4  |-  (  T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x )
6059trud 1333 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
619a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
6210a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  pi  e.  RR )
63 pipos 20374 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
649, 10, 63ltleii 9197 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
6564a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  <_  pi )
66 nfcv 2573 . . . . . . 7  |-  F/_ x sin
67 sincn 20361 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6867a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6951a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
7066, 68, 69cncfmptss 27694 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
7149, 70syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  ( ( 0 (,) pi )
-cn-> CC ) )
72 ioossicc 10997 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
7372a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
74 ioombl 19460 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
7574a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
7615sincld 12732 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7776adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7814a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
7966, 68, 78cncfmptss 27694 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
8079trud 1333 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
81 cniccibl 19733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L ^1 )
829, 10, 80, 81mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  L ^1
8382a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L ^1 )
8473, 75, 77, 83iblss 19697 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L ^1 )
8549, 84syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  L ^1 )
8616negcld 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
87 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
8887fvmpt2 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x )  = 
-u ( cos `  x
) )
8915, 86, 88syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
)  =  -u ( cos `  x ) )
9089eqcomd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )
9190mpteq2ia 4292 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x ) )
92 nfmpt1 4299 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
93 coscn 20362 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
9487negfcncf 18950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9792, 96, 78cncfmptss 27694 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
9897trud 1333 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC )
9991, 98eqeltri 2507 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
1005, 99eqeltri 2507 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
101100a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  C  e.  (
( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10261, 62, 65, 71, 85, 101ftc2 19929 . . . 4  |-  (  T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) ) )
103102trud 1333 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
10460, 103eqtr3i 2459 . 2  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
105 0xr 9132 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
10610rexri 9138 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
107 ubicc2 11015 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
108105, 106, 64, 107mp3an 1280 . . . 4  |-  pi  e.  ( 0 [,] pi )
109 fveq2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  pi ) )
110 cospi 20381 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
111109, 110syl6eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  = 
-u 1 )
112111negeqd 9301 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u -u 1 )
113 ax-1cn 9049 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
114113a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  1  e.  CC )
115114negnegd 9403 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u -u 1  =  1 )
116112, 115eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  =  1 )
117 1ex 9087 . . . . 5  |-  1  e.  _V
118116, 1, 117fvmpt 5807 . . . 4  |-  ( pi  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  pi )  =  1 )
119108, 118ax-mp 8 . . 3  |-  ( C `
 pi )  =  1
120 lbicc2 11014 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
121105, 106, 64, 120mp3an 1280 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] pi )
122 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  0
) )
123122negeqd 9301 . . . . . 6  |-  ( t  =  0  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  0
) )
124 negex 9305 . . . . . 6  |-  -u ( cos `  0 )  e. 
_V
125123, 1, 124fvmpt 5807 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  0 )  =  -u ( cos `  0
) )
126121, 125ax-mp 8 . . . 4  |-  ( C `
 0 )  = 
-u ( cos `  0
)
127 cos0 12752 . . . . 5  |-  ( cos `  0 )  =  1
128127negeqi 9300 . . . 4  |-  -u ( cos `  0 )  = 
-u 1
129126, 128eqtri 2457 . . 3  |-  ( C `
 0 )  = 
-u 1
130119, 129oveq12i 6094 . 2  |-  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) )  =  ( 1  -  -u 1
)
131113, 113subnegi 9380 . . 3  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
132 1p1e2 10095 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
133131, 132eqtri 2457 . 2  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  2
134104, 130, 1333eqtri 2461 1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   {cpr 3816   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   dom cdm 4879   ran crn 4880   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994   RR*cxr 9120    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293   2c2 10050   (,)cioo 10917   [,]cicc 10920   sincsin 12667   cosccos 12668   picpi 12670   TopOpenctopn 13650   topGenctg 13666  ℂfldccnfld 16704   intcnt 17082   -cn->ccncf 18907   volcvol 19361   L ^1cibl 19510   S.citg 19511    _D cdv 19751
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  27723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cc 8316  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-disj 4184  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-acn 7830  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-cmp 17451  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-ovol 19362  df-vol 19363  df-mbf 19513  df-itg1 19514  df-itg2 19515  df-ibl 19516  df-itg 19517  df-0p 19563  df-limc 19754  df-dv 19755
  Copyright terms: Public domain W3C validator