Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexp Unicode version

Theorem itgsinexp 27749
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) .

(Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
itgsinexp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
Assertion
Ref Expression
itgsinexp  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, N    ph, n, x
Allowed substitution hints:    I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.1 . . . . . 6  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) )
3 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
43ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  N )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
54itgeq2dv 19136 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
6 itgsinexp.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
7 eluzelz 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
8 zcn 10029 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
10 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1110a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
129, 11jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC ) )
13 npcan 9060 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  =  N )
1413eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
1512, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
16 uznn0sub 10259 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  2 )  e. 
NN0 )
176, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
18 2nn0 9982 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
2017, 19nn0addcld 10022 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  e.  NN0 )
2115, 20eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
22 itgex 19125 . . . . . 6  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x  e.  _V
2322a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  _V )
242, 5, 21, 23fvmptd 5606 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
25 sinf 12404 . . . . . . . . . 10  |-  sin : CC
--> CC
2625a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  sin : CC --> CC )
27 ioossre 10712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
28 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
2927, 28sstri 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
3029sseli 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
3126, 30jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin : CC --> CC  /\  x  e.  CC )
)
32 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( sin : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x
)  e.  CC )
3331, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3433adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3521adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
3634, 35expcld 11245 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
37 ioossicc 10735 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
3837a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
39 ioombl 18922 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
4039a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
4125a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  sin : CC --> CC )
42 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
43 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
4442, 43pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
45 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
4644, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
4746, 28pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 [,] pi ) 
C_  RR  /\  RR  C_  CC )
48 sstr 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 0 [,] pi )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
0 [,] pi ) 
C_  CC )
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
5049sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
5141, 50jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin : CC --> CC  /\  x  e.  CC )
)
5251, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
5352adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
5421adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
5553, 54expcld 11245 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
5642a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5743a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5850adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
5958, 55jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC ) )
60 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
6160fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
6259, 61syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
6362eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) `
 x ) )
6463mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x ) ) )
65 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
66 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x sin
67 sincn 19820 . . . . . . . . . . . 12  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6867a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6966, 68, 21expcnfg 27726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
7049a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
7165, 69, 70cncfmptss 27717 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
7264, 71eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
7356, 57, 723jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( x  e.  (
0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) ) )
74 cniccibl 19195 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
7573, 74syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
7638, 40, 55, 75iblss 19159 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
7736, 76itgcl 19138 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  CC )
7824, 77eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  e.  CC )
79 eluz2b2 10290 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
806, 79sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
8180simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
82 nnne0 9778 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8381, 82syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
8478, 9, 83divcan3d 9541 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( I `
 N ) )
85 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8685a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
879, 86npcand 9161 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
8887eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
8988oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  ( I `  N ) ) )
90 uz2m1nn 10292 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
916, 90syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
92 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9391, 92syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9493, 86, 78adddird 8860 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( 1  x.  ( I `  N
) ) ) )
9578mulid2d 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
I `  N )
)  =  ( I `
 N ) )
9695oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( 1  x.  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( I `  N ) ) )
9794, 96eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( I `  N ) ) )
9881adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN )
9934, 98jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )
)
100 expm1t 11130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
102101itgeq2dv 19136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) )  _d x )
103 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )
104 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
105 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
106 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) ) )
107 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  - 
1 )  x.  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
108 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
109103, 104, 105, 106, 107, 108, 91itgsinexplem1 27748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x ) )
1109, 86, 863jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )
)
111 subsub4 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
112110, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
113 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  +  1 )  =  2
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
115114oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
1  +  1 ) )  =  ( N  -  2 ) )
116112, 115eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
117116adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  =  ( N  - 
2 ) )
118117oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
119118oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
120119itgeq2dv 19136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )
121120oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x ) )
122109, 121eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x ) )
123 sincossq 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 )
12485a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
125 sincl 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
12618a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  NN0 )
127125, 126expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
128 coscl 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
129128, 126expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
130124, 127, 1293jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC ) )
131 subadd 9054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 )  <->  ( (
( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 )  <->  ( (
( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
133123, 132mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )
134133eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
13530, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
136135oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
137136adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
138137itgeq2dv 19136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  _d x )
13985a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  1  e.  CC )
14018a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  2  e.  NN0 )
14133, 140expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
142141adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
143116eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( N  -  1 )  -  1 ) )
144 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
14591, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  e.  NN0 )
146143, 145eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
147146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
14834, 147expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
149139, 142, 148subdird 9236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) ) )
150148mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
15118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  2  e.  NN0 )
15234, 147, 151expaddd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
15311, 9pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( N  -  2 ) )  =  N )
154153oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
155154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
156152, 155eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
157150, 156oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  ( ( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
158149, 157eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  -  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
159158itgeq2dv 19136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x )
160138, 159eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x )
161146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
16253, 161expcld 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
16358, 162jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC ) )
164 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
165164fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
166163, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
167166eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) `
 x ) )
168167mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x ) ) )
169 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )
17066, 68, 146expcnfg 27726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
171169, 170, 70cncfmptss 27717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
172168, 171eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
17356, 57, 1723jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( x  e.  (
0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) ) )
174 cniccibl 19195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L ^1 )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L ^1 )
17638, 40, 162, 175iblss 19159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L ^1 )
177148, 176, 36, 76itgsub 19180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
178160, 177eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
179178oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
180122, 179eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
181102, 180eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
18224, 181eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
183 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
184183adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  =  ( N  -  2 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
185184itgeq2dv 19136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
186185adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  =  ( N  -  2
) )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
187 itgex 19125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  e.  _V
188187a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  _V )
1892, 186, 146, 188fvmptd 5606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x )
190189, 24oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( N  -  2
) )  -  (
I `  N )
)  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
191190oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
192182, 191eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( ( I `
 ( N  - 
2 ) )  -  ( I `  N
) ) ) )
193148, 176itgcl 19138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  CC )
194189, 193eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  e.  CC )
19593, 194, 78subdid 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
196192, 195eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
197196eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  -  (
( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) ) )  =  ( I `
 N ) )
19893, 194mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  ( N  -  2 ) ) )  e.  CC )
19993, 78mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
)  e.  CC )
200198, 199, 783jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
)  e.  CC  /\  ( I `  N
)  e.  CC ) )
201 subadd 9054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  ( N  -  2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
)  e.  CC  /\  ( I `  N
)  e.  CC )  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) )  =  ( I `  N
)  <->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N ) )  +  ( I `  N
) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) ) ) )
202200, 201syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) )  -  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
) )  =  ( I `  N )  <-> 
( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) ) )
203197, 202mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
20497, 203eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
20589, 204eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
206205oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  /  N ) )
20793, 194, 9, 83div23d 9573 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
208206, 207eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
20984, 208eqtr3d 2317 1  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ^cexp 11104   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348   -cn->ccncf 18380   volcvol 18823   L ^1cibl 18972   S.citg 18973
This theorem is referenced by:  wallispilem2  27815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator