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Theorem itgsinexplem1 27851
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1) (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
itgsinexplem1.2  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
itgsinexplem1.3  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
itgsinexplem1.4  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
itgsinexplem1.5  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
itgsinexplem1.6  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)    L( x)    M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0cn 8847 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
21subidi 9133 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
32oveq1i 5884 . . . . . 6  |-  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x ) )
5 0re 8854 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
7 pire 19848 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
95, 7pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
10 pipos 19849 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
11 ltle 8926 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0  <  pi  ->  0  <_  pi )
)
129, 10, 11mp2 17 . . . . . . 7  |-  0  <_  pi
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
14 iccssre 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
159, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
16 ax-resscn 8810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
1715, 16pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 [,] pi ) 
C_  RR  /\  RR  C_  CC )
18 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0 [,] pi )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
0 [,] pi ) 
C_  CC )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
2019sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
22 sinf 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sin : CC
--> CC
2322a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  sin : CC --> CC )
2423, 20jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin : CC --> CC  /\  x  e.  CC )
)
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sin : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x
)  e.  CC )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
2726adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
28 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2928nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
3127, 30expcld 11261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
3221, 31jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC ) )
33 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
3433fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( F `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
3635eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( F `  x ) )
3736mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( F `
 x ) ) )
38 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
3933, 38nfcxfr 2429 . . . . . . . 8  |-  F/_ x F
40 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x sin
41 sincn 19836 . . . . . . . . . . 11  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
4241a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4340, 42, 29expcnfg 27829 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4433, 43syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4519a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
4639, 44, 45cncfmptss 27820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
4737, 46eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
48 cosf 12421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  cos : CC
--> CC
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  cos : CC --> CC )
5049, 20jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos : CC --> CC  /\  x  e.  CC )
)
51 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( cos : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( cos `  x
)  e.  CC )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
5352negcld 9160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
5420, 53jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC ) )
55 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
5655fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x ) )
5754, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x
) )
5857eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
5958adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
6059mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( G `  x ) ) )
61 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
6255, 61nfcxfr 2429 . . . . . . . 8  |-  F/_ x G
63 coscn 19837 . . . . . . . . . 10  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
6463a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6555negfcncf 18438 . . . . . . . . 9  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  G  e.  ( CC -cn-> CC ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6762, 66, 45cncfmptss 27820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
6860, 67eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
69 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
7069, 16pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0 (,) pi ) 
C_  RR  /\  RR  C_  CC )
71 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0 (,) pi )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
0 (,) pi ) 
C_  CC )
7270, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
7372sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
7473adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
7528nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
7722a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  sin : CC --> CC )
7877, 73jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin : CC --> CC  /\  x  e.  CC )
)
7978, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
8079adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
81 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
8228, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
8480, 83expcld 11261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
8576, 84mulcld 8871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
8648a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  cos : CC --> CC )
8786, 73jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos : CC --> CC  /\  x  e.  CC )
)
8887, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
8988adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
9085, 89mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
9174, 90jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC ) )
92 itgsinexplem1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
9392fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
9491, 93syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
9594eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  =  ( H `  x
) )
9695mpteq2dva 4122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( H `  x ) ) )
97 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
9892, 97nfcxfr 2429 . . . . . . . 8  |-  F/_ x H
99 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
10099a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
10175, 100, 1003jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC ) )
102 cncfmptc 18431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
10440, 42, 82expcnfg 27829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
105103, 104mulcncf 27823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
10648a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
107106feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
108107eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  =  cos )
109108, 64eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
110105, 109mulcncf 27823 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11192, 110syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
11272a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
11398, 111, 112cncfmptss 27820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( H `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
11496, 113eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
11540, 42, 112cncfmptss 27820 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
116 ioossicc 10751 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
117116a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
118 ioombl 18938 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
119118a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
12031, 27mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  e.  CC )
12121, 120jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) )  e.  CC ) )
122 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
123122fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) )  e.  CC )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
124121, 123syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
125124eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  =  ( I `  x ) )
126125mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( I `  x ) ) )
127 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
128122, 127nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x I
12922a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
130129feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
131130eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  =  sin )
132131, 42eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
13343, 132mulcncf 27823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
134122, 133syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
135128, 134, 45cncfmptss 27820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( I `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
136126, 135eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
1376, 8, 1363jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( x  e.  (
0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) )
138 cniccibl 19211 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  L ^1 )
139137, 138syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L ^1 )
140117, 119, 120, 139iblss 19175 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L ^1 )
14175adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  CC )
14282adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
14327, 142expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
144141, 143mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
14552adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
146144, 145mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
14753adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
148146, 147mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )
14921, 148jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC ) )
150 itgsinexplem1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
151150fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
152149, 151syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )
153152eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( L `  x ) )
154153mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) ) )
155 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
156150, 155nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x L
157 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
158157negfcncf 18438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
15964, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
160110, 159mulcncf 27823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
161150, 160syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
162156, 161, 45cncfmptss 27820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
163154, 162eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
1646, 8, 1633jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( x  e.  (
0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) )
165 cniccibl 19211 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )  e.  L ^1 )
166164, 165syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L ^1 )
167117, 119, 148, 166iblss 19175 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L ^1 )
168 reex 8844 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
169168prid1 3747 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
170169a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
171 recn 8843 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
172 sincl 12422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
173171, 172syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
174173adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
17529adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
176174, 175expcld 11261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
17775adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
17882adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )
179174, 178expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
180177, 179mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
181 coscl 12423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
182171, 181syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
183182adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
184180, 183mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  CC )
185172adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
18629adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
187185, 186expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
188187, 33fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
189170, 188jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC ) )
190171adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
191 elex 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
192184, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
193190, 192jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  CC  /\  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e. 
_V ) )
194 rabid 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V } 
<->  ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e. 
_V ) )
195193, 194sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
{ x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V } )
19692dmmpt 5184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  H  =  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V }
197195, 196syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
dom  H )
198197ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
199198alrimiv 1621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H ) )
200 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x RR
20198nfdm 4936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x dom  H
202200, 201dfss2f 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR  C_  dom  H  <->  A. x
( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
203199, 202sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  H )
20433oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  F )  =  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
20528dvsinexp 27843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
206204, 205syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) ) ) )
207206, 92syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  H )
208207dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  =  dom  H )
209203, 208sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
210100, 209jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC 
_D  F ) ) )
211189, 210jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) ) )
212 dvres3 19279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
213211, 212syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
21433reseq1i 4967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )
215 resmpt 5016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) )
21616, 215ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
217214, 216eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
218217oveq2i 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
219218a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) ) )
220207reseq1d 4970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( H  |`  RR ) )
22192reseq1i 4967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )
222 resmpt 5016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
22316, 222ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
224221, 223eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
225224a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
226220, 225eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
227213, 219, 2263eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
22815a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
229 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
230229tgioo2 18325 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
2319a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR ) )
232 iccntr 18342 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
233231, 232syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
234170, 176, 184, 227, 228, 230, 229, 233dvmptres2 19327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
235182negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
236235adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
237173negcld 9160 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
238237adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
239 dvcosre 27844 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
240239a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
241170, 183, 238, 240dvmptneg 19331 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
242173negnegd 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
243242adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
244243mpteq2dva 4122 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
245241, 244eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
246170, 236, 174, 245, 228, 230, 229, 233dvmptres2 19327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
247 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  0
) )
248 sin0 12445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin `  0 )  =  0
249247, 248syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  0 )
250249oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
251250adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
25228adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
2532520expd 11277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
254251, 253eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  0 )
255254oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
256 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
2571a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  0  e.  CC )
258256, 257eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  CC )
259181negcld 9160 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
260258, 259syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
261260adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
262261mul02d 9026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0  x.  -u ( cos `  x ) )  =  0 )
263255, 262eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
264 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  pi ) )
265 sinpi 19847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin `  pi )  =  0
266264, 265syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  0 )
267266oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
268267adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
26928adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  N  e.  NN )
2702690expd 11277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0 ^ N )  =  0 )
271268, 270eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  0 )
272271oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
273 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  pi  ->  x  =  pi )
2747recni 8865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
275274a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  pi  ->  pi  e.  CC )
276273, 275eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  x  e.  CC )
277276, 181syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
278277negcld 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
279278adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
280279mul02d 9026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
281272, 280eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
2826, 8, 13, 47, 68, 114, 115, 140, 167, 234, 246, 263, 281itgparts 19410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x ) )
283 df-neg 9056 . . . . . 6  |-  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
284283a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x ) )
2854, 282, 2843eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
28690, 89mulneg2d 9249 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  -u ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) ) )
28785, 89, 89mulassd 8874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) ) )
288 sqval 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x ) ) )
289288eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
29088, 289syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
291290adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
292291oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )
293 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN0
294293a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  2  e.  NN0 )
29588, 294expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
296295adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
29776, 84, 296mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
298292, 297eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( N  x.  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
29984, 296mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
300299oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
301298, 300eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
302287, 301eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
303302negeqd 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  -u ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
304296, 84mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
30576, 304mulneg1d 9248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( -u N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  = 
-u ( N  x.  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
306305eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u ( N  x.  ( (
( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( -u N  x.  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
307303, 306eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
308286, 307eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
309308itgeq2dv 19152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
31075negcld 9160 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u N  e.  CC )
311293a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  2  e.  NN0 )
31252, 311expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
313312adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
314313, 143mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
31521, 314jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC ) )
316 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
317316fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
318315, 317syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
319318eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( M `  x ) )
320319mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( M `
 x ) ) )
321 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
322316, 321nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x M
323 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x cos
324293a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
325323, 64, 324expcnfg 27829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
326325, 104mulcncf 27823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
327316, 326syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
328322, 327, 45cncfmptss 27820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( M `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
329320, 328eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
3306, 8, 3293jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( x  e.  (
0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) ) )
331 cniccibl 19211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  L ^1 )
332330, 331syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L ^1 )
333117, 119, 314, 332iblss 19175 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L ^1 )
334310, 304, 333itgmulc2 19204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
335309, 334eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
336335negeqd 9062 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
337285, 336eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
338304, 333itgcl 19154 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x  e.  CC )
33975, 338mulneg1d 9248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
340339negeqd 9062 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u -u ( N  x.  S. (
0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  _d x ) )
341337, 340eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
34275, 338mulcld 8871 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  e.  CC )
343342negnegd 9164 . 2  |-  ( ph  -> 
-u -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
344341, 343eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ^cexp 11120   sincsin 12361   cosccos 12362   picpi 12364   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358  ℂfldccnfld 16393   intcnt 16770   -cn->ccncf 18396   volcvol 18839   L ^1cibl 18988   S.citg 18989    _D cdv 19229
This theorem is referenced by:  itgsinexp  27852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233
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