MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgspliticc Structured version   Unicode version

Theorem itgspliticc 19728
Description: The  S. integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgspliticc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgspliticc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgspliticc.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgspliticc.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
itgspliticc.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
itgspliticc.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgspliticc  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, V    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgspliticc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgspliticc.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21rexrd 9134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3 itgspliticc.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
4 itgspliticc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 elicc2 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
73, 6mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
87simp1d 969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98rexrd 9134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
104rexrd 9134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
11 df-icc 10923 . . . . . . 7  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
12 xrmaxle 10771 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  z  <->  ( A  <_  z  /\  B  <_ 
z ) ) )
13 xrlemin 10772 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
z  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( z  <_  B  /\  z  <_  C ) ) )
1411, 12, 13ixxin 10933 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C
) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
) )
152, 9, 9, 10, 14syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
167simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
17 iftrue 3745 . . . . . . 7  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
197simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
20 iftrue 3745 . . . . . . 7  |-  ( B  <_  C  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  =  B )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  =  B )
2218, 21oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
)  =  ( B [,] B ) )
23 iccid 10961 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
249, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] B
)  =  { B } )
2515, 22, 243eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  { B }
)
2625fveq2d 5732 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  ( vol
* `  { B } ) )
27 ovolsn 19391 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol * `  { B } )  =  0 )
288, 27syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  { B } )  =  0 )
2926, 28eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  0 )
30 iccsplit 11029 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
311, 4, 3, 30syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
32 itgspliticc.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
33 itgspliticc.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
34 itgspliticc.6 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
3529, 31, 32, 33, 34itgsplit 19727 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    i^i cin 3319   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993   RR*cxr 9119    <_ cle 9121   [,]cicc 10919   vol *covol 19359   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516
  Copyright terms: Public domain W3C validator