MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Unicode version

Theorem itgsplitioo 19721
Description: The  S. integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgsplitioo.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsplitioo.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgsplitioo.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
itgsplitioo.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
itgsplitioo.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 elicc2 10967 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 5mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
76simp2d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
86simp1d 969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
92, 8leloed 9208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
107, 9mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B
) )
1110ord 367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  A  =  B ) )
122rexrd 9126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
13 iooss1 10943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )
1412, 7, 13syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A (,) C ) )
1514sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
1715, 16syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
1917, 18itgcl 19667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  e.  CC )
2019addid2d 9259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2120eqcomd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
22 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
23 itgeq1 19656 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
25 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  ( B (,) B
) )
26 iooid 10936 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) B )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
28 itgeq1 19656 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
30 itg0 19663 . . . . . . 7  |-  S. (/) D  _d x  =  0
3129, 30syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  0 )
3231oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
3324, 32eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x )  <->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3421, 33syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3511, 34syld 42 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
366simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
378, 3leloed 9208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
3836, 37mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) )
3938ord 367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  B  =  C ) )
403rexrd 9126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
41 iooss2 10944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
4240, 36, 41syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) C ) )
4342sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
4443, 16syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  CC )
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
4644, 45itgcl 19667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  e.  CC )
4746addid1d 9258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  0 )  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
4847eqcomd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 ) )
49 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A (,) B )  =  ( A (,) C
) )
50 itgeq1 19656 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =  ( A (,) C )  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
5149, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
52 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  ( B (,) B )  =  ( B (,) C
) )
5326, 52syl5eqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  (/)  =  ( B (,) C ) )
54 itgeq1 19656 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  ( B (,) C )  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5630, 55syl5eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  0  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5756oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
5851, 57eqeq12d 2449 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  + 
0 )  <->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
5948, 58syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
6039, 59syld 42 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
61 indir 3581 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C
) ) )
628rexrd 9126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6312, 62jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6463adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6562, 40jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
6665adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
678adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  e.  RR )
6867leidd 9585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  <_  B )
69 ioodisj 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* ) )  /\  B  <_  B )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
7064, 66, 68, 69syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
71 incom 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( B (,) C )  i^i 
{ B } )
7267ltnrd 9199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  <  B )
73 eliooord 10962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  B  /\  B  <  C ) )
7473simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  B  <  B )
7572, 74nsyl 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
76 disjsn 3860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B (,) C
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
7775, 76sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( B (,) C )  i^i  { B } )  =  (/) )
7871, 77syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( { B }  i^i  ( B (,) C
) )  =  (/) )
7970, 78uneq12d 3494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
80 un0 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
8179, 80syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  (/) )
8261, 81syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
8382fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( vol * `  (/) ) )
84 ovol0 19381 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
8583, 84syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  0 )
8612, 62, 403jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
87 ioojoin 11019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8886, 87sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8988eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) C
)  =  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) ) )
9016adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
9145adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
92 ssun1 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  { B } )
9392a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
94 ioossre 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  RR )
9667snssd 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  { B }  C_  RR )
9795, 96unssd 3515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  RR )
98 uncom 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  =  ( { B }  u.  ( A (,) B ) )
9998difeq1i 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) )
100 difun2 3699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
10199, 100eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
102 difss 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
103101, 102eqsstri 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B } )
105 ovolsn 19383 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol * `  { B } )  =  0 )
10667, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  { B } )  =  0 )
107 ovolssnul 19375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B }  /\  { B }  C_  RR  /\  ( vol * `  { B } )  =  0 )  ->  ( vol * `
 ( ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
108104, 96, 106, 107syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
109 ssun1 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  C_  ( (
( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) )
110109, 88syl5sseq 3388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  ( A (,) C ) )
111110sselda 3340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
112111, 90syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  D  e.  CC )
11393, 97, 108, 112itgss3 19698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  D )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B } ) D  _d x ) )
114113simpld 446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  D )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L ^1 ) )
11591, 114mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  |->  D )  e.  L ^1 )
11618adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
11785, 89, 90, 115, 116itgsplit 19719 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
118113simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) B
) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B }
) D  _d x )
119118oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
120117, 119eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
121120ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
12235, 60, 121ecased 911 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   (,)cioo 10908   [,]cicc 10911   vol *covol 19351   L ^1cibl 19501   S.citg 19502
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  19739  ftc1lem1  19911  ftc1anc  26278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-itg 19508  df-0p 19554
  Copyright terms: Public domain W3C validator