MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Unicode version

Theorem itgsplitioo 19192
Description: The  S. integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgsplitioo.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsplitioo.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgsplitioo.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
itgsplitioo.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
itgsplitioo.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 elicc2 10715 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 5mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
76simp2d 968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
86simp1d 967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
92, 8leloed 8962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
107, 9mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B
) )
1110ord 366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  A  =  B ) )
122rexrd 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
13 iooss1 10691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )
1412, 7, 13syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A (,) C ) )
1514sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
1715, 16syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
1917, 18itgcl 19138 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  e.  CC )
2019addid2d 9013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2120eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
22 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
23 itgeq1 19127 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2422, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
25 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  ( B (,) B
) )
26 iooid 10684 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) B )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
28 itgeq1 19127 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
30 itg0 19134 . . . . . . 7  |-  S. (/) D  _d x  =  0
3129, 30syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  0 )
3231oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
3324, 32eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x )  <->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3421, 33syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3511, 34syld 40 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
366simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
378, 3leloed 8962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
3836, 37mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) )
3938ord 366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  B  =  C ) )
403rexrd 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
41 iooss2 10692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
4240, 36, 41syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) C ) )
4342sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
4443, 16syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  CC )
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
4644, 45itgcl 19138 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  e.  CC )
4746addid1d 9012 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  0 )  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
4847eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 ) )
49 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A (,) B )  =  ( A (,) C
) )
50 itgeq1 19127 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =  ( A (,) C )  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
5149, 50syl 15 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
52 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  ( B (,) B )  =  ( B (,) C
) )
5326, 52syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  (/)  =  ( B (,) C ) )
54 itgeq1 19127 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  ( B (,) C )  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5553, 54syl 15 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5630, 55syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  0  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5756oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
5851, 57eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  + 
0 )  <->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
5948, 58syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
6039, 59syld 40 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
61 indir 3417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C
) ) )
628rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6312, 62jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6463adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6562, 40jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
6665adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
678adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  e.  RR )
6867leidd 9339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  <_  B )
69 ioodisj 10765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* ) )  /\  B  <_  B )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
7064, 66, 68, 69syl21anc 1181 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
71 incom 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( B (,) C )  i^i 
{ B } )
7267ltnrd 8953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  <  B )
73 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  B  /\  B  <  C ) )
7473simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  B  <  B )
7572, 74nsyl 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
76 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B (,) C
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
7775, 76sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( B (,) C )  i^i  { B } )  =  (/) )
7871, 77syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( { B }  i^i  ( B (,) C
) )  =  (/) )
7970, 78uneq12d 3330 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
80 un0 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
8179, 80syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  (/) )
8261, 81syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
8382fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( vol * `  (/) ) )
84 ovol0 18852 . . . . . 6  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
8583, 84syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  0 )
8612, 62, 403jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
87 ioojoin 10766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8886, 87sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8988eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) C
)  =  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) ) )
9016adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
9145adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
92 ssun1 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  { B } )
9392a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
94 ioossre 10712 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9594a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  RR )
9667snssd 3760 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  { B }  C_  RR )
9795, 96unssd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  RR )
98 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  =  ( { B }  u.  ( A (,) B ) )
9998difeq1i 3290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) )
100 difun2 3533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
10199, 100eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
102 difss 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
103101, 102eqsstri 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
104103a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B } )
105 ovolsn 18854 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol * `  { B } )  =  0 )
10667, 105syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  { B } )  =  0 )
107 ovolssnul 18846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B }  /\  { B }  C_  RR  /\  ( vol * `  { B } )  =  0 )  ->  ( vol * `
 ( ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
108104, 96, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol * `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
109 ssun1 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  C_  ( (
( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) )
110109, 88syl5sseq 3226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  ( A (,) C ) )
111110sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
112111, 90syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  D  e.  CC )
11393, 97, 108, 112itgss3 19169 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  D )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B } ) D  _d x ) )
114113simpld 445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  D )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L ^1 ) )
11591, 114mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  |->  D )  e.  L ^1 )
11618adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L ^1 )
11785, 89, 90, 115, 116itgsplit 19190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
118113simprd 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) B
) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B }
) D  _d x )
119118oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
120117, 119eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
121120ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
12235, 60, 121ecased 910 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   vol *covol 18822   L ^1cibl 18972   S.citg 18973
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  19210  ftc1lem1  19382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator