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Theorem itgss 19706
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
Assertion
Ref Expression
itgss  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11064 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
2 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
32ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4 eldif 3332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A ) )
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
65adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  C  =  0 )
76oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )
8 ax-icn 9054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _i  e.  CC
9 ine0 9474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _i  =/=  0
10 expclz 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
118, 9, 10mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
12 expne0i 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
138, 9, 12mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1411, 13div0d 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1514ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
167, 15eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  0 )
1716fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
18 re0 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1917, 18syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
2019ifeq1d 3755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
21 ifid 3773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
2220, 21syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
234, 22sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
243, 23eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2524expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
26 iftrue 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2725, 26pm2.61d2 155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
28 iftrue 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2928adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
3027, 29eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
3231adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
3332sseld 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
3433con3and 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A
)
3534, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
36 iffalse 3748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
3736adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
3835, 37eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
3930, 38pm2.61dan 768 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
40 ifan 3780 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
41 ifan 3780 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4239, 40, 413eqtr4g 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
4342mpteq2dv 4299 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
4544oveq2d 6100 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
461, 45sylan2 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
4746sumeq2dv 12502 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
48 eqid 2438 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
4948dfitg 19664 . 2  |-  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
5048dfitg 19664 . 2  |-  S. B C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
5147, 49, 503eqtr4g 2495 1  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   _ici 8997    x. cmul 9000    <_ cle 9126    / cdiv 9682   3c3 10055   ZZcz 10287   ...cfz 11048   ^cexp 11387   Recre 11907   sum_csu 12484   S.2citg2 19513   S.citg 19515
This theorem is referenced by:  itgss2  19707  areacirc  26311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sum 12485  df-itg 19520
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