Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubst Structured version   Unicode version

Theorem itgsubst 19964
 Description: Integration by -substitution. If is a continuous, differentiable function from to , whose derivative is continuous and integrable, and is a continuous function on , then the integral of from to is equal to the integral of from to . In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 19963, which use the fact that is open to shrink the interval a little to where - this is possible because is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x
itgsubst.y
itgsubst.le
itgsubst.z
itgsubst.w
itgsubst.a
itgsubst.b
itgsubst.c
itgsubst.da
itgsubst.e
itgsubst.k
itgsubst.l
Assertion
Ref Expression
itgsubst _ _
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3
2 itgsubst.y . . 3
3 itgsubst.le . . 3
4 ioossre 11003 . . . . 5
5 ax-resscn 9078 . . . . 5
6 cncfss 18960 . . . . 5
74, 5, 6mp2an 655 . . . 4
8 itgsubst.a . . . 4
97, 8sseldi 3332 . . 3
101, 2, 3, 9evthicc 19387 . 2
11 ressxr 9160 . . . . . . . 8
124, 11sstri 3343 . . . . . . 7
13 cncff 18954 . . . . . . . . . 10
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9
1514adantr 453 . . . . . . . 8
16 simprl 734 . . . . . . . 8
1715, 16ffvelrnd 5900 . . . . . . 7
1812, 17sseldi 3332 . . . . . 6
19 itgsubst.w . . . . . . 7
2019adantr 453 . . . . . 6
21 eliooord 11001 . . . . . . . 8
2217, 21syl 16 . . . . . . 7
2322simprd 451 . . . . . 6
24 qbtwnxr 10817 . . . . . 6
2518, 20, 23, 24syl3anc 1185 . . . . 5
26 qre 10610 . . . . . . . . . 10
2726ad2antrl 710 . . . . . . . . 9
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11
2928ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
3018adantr 453 . . . . . . . . . 10
3127rexrd 9165 . . . . . . . . . 10
3222simpld 447 . . . . . . . . . . 11
3332adantr 453 . . . . . . . . . 10
34 simprrl 742 . . . . . . . . . 10
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 10780 . . . . . . . . 9
36 simprrr 743 . . . . . . . . 9
3719ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
38 elioo2 10988 . . . . . . . . . 10
3929, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . . 9
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1138 . . . . . . . 8
41 anass 632 . . . . . . . . 9
42 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14
4342adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
4414ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
4612, 45sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4844, 47ffvelrnd 5900 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4912, 48sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
5126ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . 14
54 xrlelttr 10777 . . . . . . . . . . . . . 14
5546, 50, 53, 54syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
5643, 55mpan2d 657 . . . . . . . . . . . 12
5756ralimdva 2790 . . . . . . . . . . 11
5857imp 420 . . . . . . . . . 10
5958an32s 781 . . . . . . . . 9
6041, 59sylanbr 461 . . . . . . . 8
6140, 60jca 520 . . . . . . 7
6261ex 425 . . . . . 6
6362reximdv2 2821 . . . . 5
6425, 63mpd 15 . . . 4
6564rexlimdvaa 2837 . . 3
6628adantr 453 . . . . . 6
6714adantr 453 . . . . . . . 8
68 simprl 734 . . . . . . . 8
6967, 68ffvelrnd 5900 . . . . . . 7
7012, 69sseldi 3332 . . . . . 6
7169, 21syl 16 . . . . . . 7
7271simpld 447 . . . . . 6
73 qbtwnxr 10817 . . . . . 6
7466, 70, 72, 73syl3anc 1185 . . . . 5
75 qre 10610 . . . . . . . . . 10
7675ad2antrl 710 . . . . . . . . 9
77 simprrl 742 . . . . . . . . 9
7876rexrd 9165 . . . . . . . . . 10
7970adantr 453 . . . . . . . . . 10
8019ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
81 simprrr 743 . . . . . . . . . 10
8271simprd 451 . . . . . . . . . . 11
8382adantr 453 . . . . . . . . . 10
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 10780 . . . . . . . . 9
8528ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
86 elioo2 10988 . . . . . . . . . 10
8785, 80, 86syl2anc 644 . . . . . . . . 9
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1138 . . . . . . . 8
89 anass 632 . . . . . . . . 9
90 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . 14
9190adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
9275ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . 14
9514ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9795, 96ffvelrnd 5900 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9812, 97sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
10095ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
10112, 100sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . . 14
102 xrltletr 10778 . . . . . . . . . . . . . 14
10394, 99, 101, 102syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
10491, 103mpand 658 . . . . . . . . . . . 12
105104ralimdva 2790 . . . . . . . . . . 11
106105imp 420 . . . . . . . . . 10
107106an32s 781 . . . . . . . . 9
10889, 107sylanbr 461 . . . . . . . 8
10988, 108jca 520 . . . . . . 7
110109ex 425 . . . . . 6
111110reximdv2 2821 . . . . 5
11274, 111mpd 15 . . . 4
113112rexlimdvaa 2837 . . 3
114 ancom 439 . . . . 5
115 reeanv 2881 . . . . 5
116114, 115bitr4i 245 . . . 4
117 r19.26 2844 . . . . . 6
11814adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
119118ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . . 11
1204, 119sseldi 3332 . . . . . . . . . 10
1211203biant1d 1293 . . . . . . . . 9
122 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11
12312, 122sseldi 3332 . . . . . . . . . 10
124 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11
12512, 124sseldi 3332 . . . . . . . . . 10
126 elioo2 10988 . . . . . . . . . 10
127123, 125, 126syl2anc 644 . . . . . . . . 9
128121, 127bitr4d 249 . . . . . . . 8
129128ralbidva 2727 . . . . . . 7
130 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . . . . 12
131130nfel1 2588 . . . . . . . . . . 11
132 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11
133 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12
134133eleq1d 2508 . . . . . . . . . . 11
135131, 132, 134cbvral 2934 . . . . . . . . . 10
136 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
137 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138137fmpt 5919 . . . . . . . . . . . . . . 15
13914, 138sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14
140139r19.21bi 2810 . . . . . . . . . . . . 13
141137fvmpt2 5841 . . . . . . . . . . . . 13
142136, 140, 141syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
143142eleq1d 2508 . . . . . . . . . . 11
144143ralbidva 2727 . . . . . . . . . 10
145135, 144syl5bb 250 . . . . . . . . 9
146145adantr 453 . . . . . . . 8
1471adantr 453 . . . . . . . . . . 11
1482adantr 453 . . . . . . . . . . 11
1493adantr 453 . . . . . . . . . . 11
15028adantr 453 . . . . . . . . . . 11
15119adantr 453 . . . . . . . . . . 11
152 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . 14
153 nfcsb1v 3282 . . . . . . . . . . . . . 14
154 csbeq1a 3275 . . . . . . . . . . . . . 14
155152, 153, 154cbvmpt 4324 . . . . . . . . . . . . 13
156155, 8syl5eqelr 2527 . . . . . . . . . . . 12
157156adantr 453 . . . . . . . . . . 11
158 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . 14
159 nfcsb1v 3282 . . . . . . . . . . . . . 14
160 csbeq1a 3275 . . . . . . . . . . . . . 14
161158, 159, 160cbvmpt 4324 . . . . . . . . . . . . 13
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13
163161, 162syl5eqelr 2527 . . . . . . . . . . . 12
164163adantr 453 . . . . . . . . . . 11
165 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . 14
166 nfcsb1v 3282 . . . . . . . . . . . . . 14
167 csbeq1a 3275 . . . . . . . . . . . . . 14
168165, 166, 167cbvmpt 4324 . . . . . . . . . . . . 13
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13
170168, 169syl5eqelr 2527 . . . . . . . . . . . 12
171170adantr 453 . . . . . . . . . . 11
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13
173155oveq2i 6121 . . . . . . . . . . . . 13
174172, 173, 1613eqtr3g 2497 . . . . . . . . . . . 12
175174adantr 453 . . . . . . . . . . 11
176 csbeq1 3270 . . . . . . . . . . 11
177 csbeq1 3270 . . . . . . . . . . 11
178 csbeq1 3270 . . . . . . . . . . 11
179 simprll 740 . . . . . . . . . . 11
180 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11
181 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12
182153nfel1 2588 . . . . . . . . . . . . 13
183154eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
184182, 183rspc 3052 . . . . . . . . . . . 12
185181, 184mpan9 457 . . . . . . . . . . 11
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 19963 . . . . . . . . . 10 _ _
187167, 165, 166cbvditg 19772 . . . . . . . . . . . 12 _ _
188 nfcvd 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15
190188, 189csbiegf 3290 . . . . . . . . . . . . . 14
191 ditgeq1 19766 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
1921, 190, 1913syl 19 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
193 nfcvd 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15
195193, 194csbiegf 3290 . . . . . . . . . . . . . 14
196 ditgeq2 19767 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
1972, 195, 1963syl 19 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
198192, 197eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12 _ _
199187, 198syl5eqr 2488 . . . . . . . . . . 11 _ _
200199adantr 453 . . . . . . . . . 10 _ _
201154csbeq1d 3273 . . . . . . . . . . . . . 14
202201, 160oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . 13
203 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . 13
204 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . 15
205153, 204nfcsb 3284 . . . . . . . . . . . . . 14
206 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . 14
207205, 206, 159nfov 6133 . . . . . . . . . . . . 13
208202, 203, 207cbvditg 19772 . . . . . . . . . . . 12 _ _
209 ioossicc 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
210209sseli 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211210, 140sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212 nfcvd 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214212, 213csbiegf 3290 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
216215oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . 14
217216itgeq2dv 19702 . . . . . . . . . . . . 13
2183ditgpos 19774 . . . . . . . . . . . . 13 _
2193ditgpos 19774 . . . . . . . . . . . . 13 _
220217, 218, 2193eqtr4d 2484 . . . . . . . . . . . 12 _ _
221208, 220syl5eqr 2488 . . . . . . . . . . 11 _ _
222221adantr 453 . . . . . . . . . 10 _ _
223186, 200, 2223eqtr3d 2482 . . . . . . . . 9 _ _
224223expr 600 . . . . . . . 8 _ _
225146, 224sylbid 208 . . . . . . 7 _ _
226129, 225sylbid 208 . . . . . 6 _ _
227117, 226syl5bir 211 . . . . 5 _ _
228227rexlimdvva 2843 . . . 4 _ _
229116, 228syl5bi 210 . . 3 _ _
23065, 113, 229syl2and 471 . 2 _ _
23110, 230mpd 15 1 _ _
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712  csb 3267   cin 3305   wss 3306   class class class wbr 4237   cmpt 4291  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cc 9019  cr 9020   cmul 9026  cxr 9150   clt 9151   cle 9152  cq 10605  cioo 10947  cicc 10950  ccncf 18937  cibl 19540  citg 19541  _cdit 19764   cdv 19781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cc 8346  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-disj 4208  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-cmp 17481  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-ovol 19392  df-vol 19393  df-mbf 19542  df-itg1 19543  df-itg2 19544  df-ibl 19545  df-itg 19546  df-0p 19591  df-ditg 19765  df-limc 19784  df-dv 19785
 Copyright terms: Public domain W3C validator