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Theorem itgsubst 19921
Description: Integration by  u-substitution. If  A ( x ) is a continuous, differentiable function from  [ X ,  Y ] to  ( Z ,  W ), whose derivative is continuous and integrable, and  C ( u ) is a continuous function on  ( Z ,  W ), then the integral of  C ( u ) from  K  =  A ( X ) to  L  =  A ( Y ) is equal to the integral of  C ( A ( x ) )  _D  A ( x ) from  X to  Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 19920, which use the fact that  ( Z ,  W ) is open to shrink the interval a little to  ( M ,  N ) where  Z  <  M  <  N  <  W- this is possible because  A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    ph, u, x   
u, X, x    u, Y, x    u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables  m  n  y  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2 itgsubst.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
4 ioossre 10961 . . . . 5  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
5 ax-resscn 9036 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
6 cncfss 18917 . . . . 5  |-  ( ( ( Z (,) W
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) )  C_  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  C_  (
( X [,] Y
) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 19344 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
11 ressxr 9118 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
124, 11sstri 3349 . . . . . . 7  |-  ( Z (,) W )  C_  RR*
13 cncff 18911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
1514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 5862 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
1812, 17sseldi 3338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  W  e.  RR* )
21 eliooord 10959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W )  -> 
( Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  /\  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  W ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
2322simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
24 qbtwnxr 10775 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  W  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
26 qre 10568 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  QQ  ->  n  e.  RR )
2726ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
3018adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
3127rexrd 9123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR* )
3222simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
34 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 10738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  n )
36 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  <  W )
3719ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  W  e.  RR* )
38 elioo2 10946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
n  e.  ( Z (,) W )  <->  ( n  e.  RR  /\  Z  < 
n  /\  n  <  W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  <-> 
( n  e.  RR  /\  Z  <  n  /\  n  <  W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
41 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )
42 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4414ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
4544ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
y  e.  ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5126ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
5251adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR )
5352rexrd 9123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
54 xrlelttr 10735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR*  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5643, 55mpan2d 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
)
5756ralimdva 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
5857imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
5958an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
6041, 59sylanbr 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
6140, 60jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6261ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) )  ->  ( n  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) ) )
6362reximdv2 2807 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)
6564rexlimdvaa 2823 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6628adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
6714adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 5862 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
7012, 69sseldi 3338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
7169, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
7271simpld 446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
73 qbtwnxr 10775 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
75 qre 10568 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  QQ  ->  m  e.  RR )
7675ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
77 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  <  m )
7876rexrd 9123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR* )
7970adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
8019ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  W  e.  RR* )
81 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
8271simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
8382adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 10738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  W )
8528ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
86 elioo2 10946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W
) )
89 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) ) )
90 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
9275ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR )
9493rexrd 9123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
9514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
9795, 96ffvelrnd 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
10095ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
102 xrltletr 10736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR* )  ->  ( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10491, 103mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
105104ralimdva 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )
106105imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
107106an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10889, 107sylanbr 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10988, 108jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) ) )
110109ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) ) )
111110reximdv2 2807 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( E. m  e.  QQ  ( Z  < 
m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )
113112rexlimdvaa 2823 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
114 ancom 438 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
115 reeanv 2867 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
116114, 115bitr4i 244 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
117 r19.26 2830 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)  <->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
11814adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  RR )
1211203biant1d 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
122 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
124 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
126 elioo2 10946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  RR  /\  m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
) )
127123, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
128121, 127bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2713 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
) ) )
130 nffvmpt1 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )
131130nfel1 2581 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )
132 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n )
133 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x ) )
134133eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 2920 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
) )
136 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  x  e.  ( X [,] Y ) )
137 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
138137fmpt 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 5803 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  /\  A  e.  ( Z (,) W ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  =  A )
142136, 140, 141syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x )  =  A )
143142eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  x
)  e.  ( m (,) n )  <->  A  e.  ( m (,) n
) ) )
144143ralbidva 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
146145adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )
1471adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  e.  RR )
1482adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Y  e.  RR )
1493adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  <_  Y
)
15028adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
15119adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  W  e.  RR* )
152 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y A
153 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
154 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
159 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
160 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
164163adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
165 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ v C
166 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
167 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( Z (,) W ) 
|->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
173155oveq2i 6083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
175174adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
176 csbeq1 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  [_ y  /  x ]_ A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
177 csbeq1 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
178 csbeq1 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
179 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
180 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
181 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) )
182153nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  (
m (,) n )
183154eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  ( m (,) n )  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 3038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) ) )
185181, 184mpan9 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 19920 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
187167, 165, 166cbvditg 19729 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v
188 nfcvd 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  RR  ->  F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
190188, 189csbiegf 3283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  =  K )
191 ditgeq1 19723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ X  /  x ]_ A  =  K  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
1921, 190, 1913syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
193 nfcvd 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  RR  ->  F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
195193, 194csbiegf 3283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  =  L )
196 ditgeq2 19724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ Y  /  x ]_ A  =  L  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
1972, 195, 1963syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
198192, 197eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
199187, 198syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
200199adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
201154csbeq1d 3249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  [_ A  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  =  ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )
203 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)
204 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
205153, 204nfcsb 3277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C
206 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  x.
207205, 206, 159nfov 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 19729 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y
209 ioossicc 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
210209sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
211210, 140sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
214212, 213csbiegf 3283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
216215oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
217216itgeq2dv 19661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
2183ditgpos 19731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x )
2193ditgpos 19731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
221208, 220syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
222221adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
224223expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
225146, 224sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
226129, 225sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
227117, 226syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
228227rexlimdvva 2829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) E. n  e.  ( Z (,) W
) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
229116, 228syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23110, 230mpd 15 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   [_csb 3243    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978    x. cmul 8984   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110   QQcq 10563   (,)cioo 10905   [,]cicc 10908   -cn->ccncf 18894   L ^1cibl 19497   S.citg 19498   S__cdit 19499    _D cdv 19738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-ofr 6297  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-ovol 19349  df-vol 19350  df-mbf 19500  df-itg1 19501  df-itg2 19502  df-ibl 19503  df-itg 19504  df-ditg 19505  df-0p 19550  df-limc 19741  df-dv 19742
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