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Theorem itgsubstlem 19448
Description: Lemma for itgsubst 19449. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
itgsubst.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.cl2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    u, M, x    ph, u, x    u, X, x    u, Y, x   
u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, N, x   
u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables  y 
z  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
21ditgpos 19259 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
3 itgsubst.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 itgsubst.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5 ax-resscn 8839 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 iccssre 10778 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
83, 4, 7syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
10 eqidd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )
11 eqidd 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )
12 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  ( M (,) v )  =  ( M (,) A
) )
13 itgeq1 19180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M (,) v )  =  ( M (,) A )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
159, 10, 11, 14fmptco 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
16 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
179, 16fmptd 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) )
18 ioossicc 10782 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
19 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
20 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
21 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
22 eliooord 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2423simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  <  M )
25 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
26 eliooord 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2827simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  W )
29 iccssioo 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  /\  ( Z  <  M  /\  N  <  W ) )  ->  ( M [,] N )  C_  ( Z (,) W ) )
3019, 20, 24, 28, 29syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( Z (,) W ) )
3118, 30syl5ss 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( Z (,) W ) )
32 ioossre 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  RR )
3433, 5syl6ss 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  CC )
3531, 34sstrd 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  CC )
36 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
37 cncffvrn 18454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M (,) N
)  C_  CC  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3835, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3917, 38mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( M (,) N ) ) )
4018sseli 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  ->  v  e.  ( M [,] N
) )
4132, 25sseldi 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
4241rexrd 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  N  e.  RR* )
4432, 21sseldi 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
45 elicc2 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4644, 41, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4746biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( v  e.  RR  /\  M  <_ 
v  /\  v  <_  N ) )
4847simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  v  <_  N )
49 iooss2 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  v  <_  N )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5043, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5150sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  u  e.  ( M (,) N
) )
5231sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
53 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
54 cncff 18449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  e.  ( ( Z (,) W )
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
56 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )
5756fmpt 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C ) : ( Z (,) W
) --> CC )
5855, 57sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC )
5958r19.21bi 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( Z (,) W ) )  ->  C  e.  CC )
6052, 59syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  C  e.  CC )
6160adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) N
) )  ->  C  e.  CC )
6251, 61syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  C  e.  CC )
63 ioombl 18975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M (,) v )  e. 
dom  vol
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  e.  dom  vol )
6518a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( M [,] N ) )
66 ioombl 18975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M (,) N )  e. 
dom  vol
6766a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  e.  dom  vol )
6830sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
6968, 59syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  C  e.  CC )
70 resmpt 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C ) )
7130, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C ) )
72 rescncf 18453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) )
7330, 53, 72sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )
7471, 73eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
75 cniccibl 19248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
7644, 41, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
7765, 67, 69, 76iblss 19212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  L ^1 )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  e.  L ^1 )
7950, 64, 61, 78iblss 19212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) v
)  |->  C )  e.  L ^1 )
8062, 79itgcl 19191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
8140, 80sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
82 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )
8381, 82fmptd 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC )
8431, 32syl6ss 3225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  RR )
85 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  u  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  =  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  u ) )
86 nfmpt1 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ u
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )
87 nfcv 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ u
t
8886, 87nffv 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ u
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )
89 nfcv 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )
9085, 88, 89cbvitg 19183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t  =  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u
91 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )
9291fvmpt2 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )  =  C )
9351, 62, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  =  C )
9493itgeq2dv 19189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9590, 94syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  _d t  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9695mpteq2dva 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )
9796oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) ) )
98 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )
993rexrd 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
1004rexrd 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
101 lbicc2 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
10299, 100, 1, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
103 n0i 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
104102, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
105 feq3 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
10617, 105syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
107 f00 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  <->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  (/)  /\  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
108107simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) )
109106, 108syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
110104, 109mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  ( M (,) N )  =  (/) )
11144rexrd 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
112 ioo0 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  (
( M (,) N
)  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
113111, 42, 112syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
114110, 113mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  N  <_  M
)
11541, 44letrid 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  <_  M  \/  M  <_  N ) )
116115ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  <_  N
) )
117114, 116mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
118 resmpt 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
11918, 118ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )
120 rescncf 18453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) ) )
12118, 74, 120mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N )
-cn-> CC ) )
122119, 121syl5eqelr 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
12398, 44, 41, 117, 122, 77ftc1cn 19443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) )
12430, 32syl6ss 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
125 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
126125tgioo2 18361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
127 iccntr 18378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
12844, 41, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
1296, 124, 80, 126, 125, 128dvmptntr 19373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) ) )
13097, 123, 1293eqtr3rd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) )
131130dmeqd 4918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
13260, 91fmptd 5722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) : ( M (,) N ) --> CC )
133 fdm 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) : ( M (,) N ) --> CC 
->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
134132, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
135131, 134eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N
) )
136 dvcn 19323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  /\  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N ) )  -> 
( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
1376, 83, 84, 135, 136syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
13839, 137cncfco 18463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
13915, 138eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
140 cncff 18449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
141139, 140syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
142 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
143142fmpt 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y
) --> CC )
144141, 143sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
145144r19.21bi 2675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
146 iccntr 18378 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1473, 4, 146syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1486, 8, 145, 126, 125, 147dvmptntr 19373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) )
149 reex 8873 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
150149prid1 3768 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
151150a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
152 ioossicc 10782 . . . . . . . . 9  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
153152sseli 3210 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
154153, 9sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
155 itgsubst.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
156 elin 3392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y
) -cn-> CC )  i^i  L ^1 )  <->  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L ^1 ) )
157155, 156sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  L ^1 ) )
158157simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
159 cncff 18449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
160158, 159syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
161 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
162161fmpt 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) : ( X (,) Y
) --> CC )
163160, 162sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC )
164163r19.21bi 2675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  CC )
165 nfcv 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ v C
166 nfcsb1v 3147 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
167 csbeq1a 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4147 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
169168fmpt 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( M (,) N ) [_ v  /  u ]_ C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) : ( M (,) N
) --> CC )
170132, 169sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( M (,) N )
[_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
171170r19.21bi 2675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  [_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
17232, 5sstri 3222 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z (,) W )  C_  CC
173 cncff 18449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
17436, 173syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
17516fmpt 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
176174, 175sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
177176r19.21bi 2675 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
178172, 177sseldi 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  CC )
1796, 8, 178, 126, 125, 147dvmptntr 19373 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) ) )
180 itgsubst.da . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
181179, 180eqtr3d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
182130, 168syl6eq 2364 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  [_ v  /  u ]_ C
) )
183 csbeq1 3118 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ A  /  u ]_ C )
184151, 151, 154, 164, 81, 171, 181, 182, 14, 183dvmptco 19374 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
) ) )
185 nfcvd 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  F/_ u E )
186 itgsubst.e . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
187185, 186csbiegf 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
188154, 187syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
189188oveq1d 5915 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
190189mpteq2dva 4143 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
191148, 184, 1903eqtrd 2352 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
192125mulcn 18423 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
193192a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
194 resmpt 5037 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) )
195152, 194ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )
196 eqidd 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) )
197177, 10, 196, 186fmptco 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) )
19836, 53cncfco 18463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
199197, 198eqeltrrd 2391 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
200 rescncf 18453 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
201152, 199, 200mpsyl 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
202195, 201syl5eqelr 2401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
203125, 193, 202, 158cncfmpt2f 18470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
204191, 203eqeltrd 2390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
205 ioombl 18975 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
206205a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
207 fco 5436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC  /\  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC )
20855, 174, 207syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) ) : ( X [,] Y
) --> CC )
209197feq1d 5416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC ) )
210208, 209mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) : ( X [,] Y ) --> CC )
211 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )
212211fmpt 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC )
213210, 212sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC )
214213r19.21bi 2675 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  E  e.  CC )
215153, 214sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  CC )
216 eqidd 2317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) )
217 eqidd 2317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
218206, 215, 164, 216, 217offval2 6137 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  o F  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
219191, 218eqtr4d 2351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  o F  x.  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) ) )
220152a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
221 cniccibl 19248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L ^1 )
2223, 4, 199, 221syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L ^1 )
223220, 206, 214, 222iblss 19212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L ^1 )
224 iblmbf 19175 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
225223, 224syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
226157simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L ^1 )
227 cniccbdd 18874 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
2283, 4, 199, 227syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
229 ssralv 3271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
230152, 229ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
231 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )
232215, 231fmptd 5722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC )
233 fdm 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC 
->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
234232, 233syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
235234raleqdv 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
236195fveq1i 5564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z )
237 fvres 5580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `  z )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `
 z ) )
238236, 237syl5eqr 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )
239238fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `
 z ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) ) )
240239breq1d 4070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
241240ralbiia 2609 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
242235, 241syl6rbb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
243230, 242syl5ib 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
244243reximdv 2688 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
245228, 244mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
246 bddmulibl 19246 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn  /\  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L ^1 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)  ->  ( (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  o F  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  e.  L ^1 )
247225, 226, 245, 246syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  o F  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  e.  L ^1 )
248219, 247eqeltrd 2390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  L ^1 )
2493, 4, 1, 204, 248, 139ftc2 19444 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X
) ) )
250 fveq2 5563 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x ) )
251 nfcv 2452 . . . . . . 7  |-  F/_ x RR
252 nfcv 2452 . . . . . . 7  |-  F/_ x  _D
253 nfmpt1 4146 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
254251, 252, 253nfov 5923 . . . . . 6  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )
255 nfcv 2452 . . . . . 6  |-  F/_ x
t
256254, 255nffv 5570 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)
257 nfcv 2452 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)
258250, 256, 257cbvitg 19183 . . . 4  |-  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x
259191fveq1d 5565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) `  x ) )
260 ovex 5925 . . . . . . 7  |-  ( E  x.  B )  e. 
_V
261 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) )
262261fvmpt2 5646 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  /\  ( E  x.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) ) `  x )  =  ( E  x.  B ) )
263260, 262mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) ) `  x
)  =  ( E  x.  B ) )
264259, 263sylan9eq 2368 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `
 x )  =  ( E  x.  B
) )
265264itgeq2dv 19189 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
266258, 265syl5eq 2360 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
26718, 9sseldi 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M [,] N ) )
268 elicc2 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
26944, 41, 268syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
270269adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  ( M [,] N
)  <->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) ) )
271267, 270mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) )
272271simp2d 968 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  M  <_  A )
273272ditgpos 19259 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
274273mpteq2dva 4143 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
275274fveq1d 5565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y ) )
276 ubicc2 10800 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
27799, 100, 1, 276syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
278 itgsubst.l . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
279 ditgeq2 19252 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  L  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
280278, 279syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
281 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__
[ M  ->  A ] C  _d u
)
282 ditgex 19255 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  e.  _V
283280, 281, 282fvmpt 5640 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
284277, 283syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
285275, 284eqtr3d 2350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
286274fveq1d 5565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 X ) )
287 itgsubst.k . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
288 ditgeq2 19252 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  K  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
289287, 288syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
290 ditgex 19255 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  _V
291289, 281, 290fvmpt 5640 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
292102, 291syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
293286, 292eqtr3d 2350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X )  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
294285, 293oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
295 lbicc2 10799 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
296111, 42, 117, 295syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
297267ralrimiva 2660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N ) )
298287eleq1d 2382 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  K  e.  ( M [,] N ) ) )
299298rspcv 2914 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  K  e.  ( M [,] N
) ) )
300102, 297, 299sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M [,] N ) )
301278eleq1d 2382 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  L  e.  ( M [,] N ) ) )
302301rspcv 2914 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  L  e.  ( M [,] N
) ) )
303277, 297, 302sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( M [,] N ) )
30444, 41, 296, 300, 303, 60, 77ditgsplit 19264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  =  ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u ) )
305304oveq1d 5915 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )  =  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
30644, 41, 296, 300, 60, 77ditgcl 19261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  CC )
30744, 41, 300, 303, 60, 77ditgcl 19261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  e.  CC )
308306, 307pncan2d 9204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u
)  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
309294, 305, 3083eqtrd 2352 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
310249, 266, 3093eqtr3d 2356 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
3112, 310eqtr2d 2349 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822   [_csb 3115    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   {cpr 3675   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   dom cdm 4726   ran crn 4727    |` cres 4728    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    o Fcof 6118   CCcc 8780   RRcr 8781    + caddc 8785    x. cmul 8787   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082   (,)cioo 10703   [,]cicc 10706   abscabs 11766   TopOpenctopn 13375   topGenctg 13391  ℂfldccnfld 16432   intcnt 16810    Cn ccn 17010    tX ctx 17311   -cn->ccncf 18432   volcvol 18876  MblFncmbf 19022   L ^1cibl 19025   S.citg 19026   S__cdit 19027    _D cdv 19266
This theorem is referenced by:  itgsubst  19449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cc 8106  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-disj 4031  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-ofr 6121  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-cmp 17170  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-ovol 18877  df-vol 18878  df-mbf 19028  df-itg1 19029  df-itg2 19030  df-ibl 19031  df-itg 19032  df-ditg 19033  df-0p 19078  df-limc 19269  df-dv 19270
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