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Theorem itgulm 19784
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> L ^1 )
itgulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
itgulm.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgulm  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, G, x    ph, k, x    k, M, x    S, k, x    k, Z, x

Proof of Theorem itgulm
Dummy variables  j  n  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
4 itgulm.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : Z --> L ^1 )
5 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : Z --> L ^1 
->  F  Fn  Z
)
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
7 itgulm.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
8 ulmf2 19763 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
11 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( F `  n ) `  z )  =  ( ( F `  n
) `  z )
)
12 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
137adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
14 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
15 itgulm.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol `  S )  e.  RR )
17 ulmcl 19760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
18 fdm 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : S --> CC  ->  dom 
G  =  S )
197, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  S )
201, 2, 4, 7, 15iblulm 19783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  L ^1 )
21 iblmbf 19122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  L ^1  ->  G  e. MblFn )
22 mbfdm 18983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2419, 23eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  vol )
25 mblss 18890 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  S 
C_  RR )
26 ovolge0 18840 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  S ) )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol * `
 S ) )
28 mblvol 18889 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  ( vol `  S )  =  ( vol * `  S ) )
2924, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  =  ( vol
* `  S )
)
3027, 29breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3130adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3216, 31ge0p1rpd 10416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  S )  +  1 )  e.  RR+ )
3314, 32rpdivcld 10407 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  e.  RR+ )
341, 3, 10, 11, 12, 13, 33ulmi 19765 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
351uztrn2 10245 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
379, 36sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S
) )
38 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
40 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
) : S --> CC  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  n ) `  x
)  e.  CC )
4139, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  CC )
4241adantllr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( F `  n ) `  x )  e.  CC )
4342adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  n ) `  x
)  e.  CC )
4439feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
45 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : Z --> L ^1 
/\  n  e.  Z
)  ->  ( F `  n )  e.  L ^1 )
464, 45sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  L ^1 )
4744, 46eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  e.  L ^1 )
4847ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  e.  L ^1 )
497, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
50 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : S --> CC  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
5149, 50sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5251adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5352adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
5449feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  S  |->  ( G `
 x ) ) )
5554, 20eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L ^1 )
5655ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L ^1 )
5743, 48, 53, 56itgsub 19180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  =  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )
5857fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  =  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) ) )
5943, 53subcld 9157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
)  e.  CC )
6043, 48, 53, 56iblsub 19176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  e.  L ^1 )
6159, 60itgcl 19138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  e.  CC )
6261abscld 11918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  e.  RR )
6359abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR )
6459, 60iblabs 19183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ) )  e.  L ^1 )
6563, 64itgrecl 19152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  e.  RR )
66 rpre 10360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6766ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  RR )
6859, 60itgabs 19189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <_  S. S ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  _d x )
6933adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7069rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
7115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  RR )
7270, 71remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
73 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  X.  { ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) } )  =  ( x  e.  S  |->  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
7424ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S  e.  dom  vol )
7569rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )
76 iblconst 19172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( S  X.  { ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L ^1 )
7774, 71, 75, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( S  X.  {
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L ^1 )
7873, 77syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
7970adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
80 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
81 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
82 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
8381, 82oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
8483fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) ) )
8584breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
8685rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8780, 86sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8863, 79, 87ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8964, 78, 63, 79, 88itgle 19164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x )
90 itgconst 19173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  S. S ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
9174, 71, 75, 90syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
9289, 91breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_ 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
9367recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  CC )
9471recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  CC )
9532adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR+ )
9695rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  CC )
9795rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  =/=  0 )
9893, 94, 96, 97div23d 9573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  =  ( ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  x.  ( vol `  S
) ) )
9971ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 ) )
100 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol `  S )  e.  RR  ->  (
( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
10171, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
102 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
103102ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  r )
104 ltmul2 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
r  e.  RR  /\  0  <  r ) )  ->  ( ( vol `  S )  <  (
( vol `  S
)  +  1 )  <-> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )
10571, 101, 67, 103, 104syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 )  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
10699, 105mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
10767, 71remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
108107, 67, 95ltdivmul2d 10438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
109106, 108mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r )
11098, 109eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  < 
r )
11165, 72, 67, 92, 110lelttrd 8974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  < 
r )
11262, 65, 67, 68, 111lelttrd 8974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <  r )
11358, 112eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
114113expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
) )
11535, 114sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
116115anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
117116ralimdva 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
118117reximdva 2655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
11934, 118mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
120119ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
)
121 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1221, 121eqeltri 2353 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
123122mptex 5746 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  e.  _V
124123a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  e.  _V )
125 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
126125fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  x )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
127126adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  n  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  x
)  =  ( ( F `  n ) `
 x ) )
128127itgeq2dv 19136 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  S. S ( ( F `
 k ) `  x )  _d x  =  S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x )
129 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )
130 itgex 19125 . . . . 5  |-  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x  e. 
_V
131128, 129, 130fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
132131adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
13351, 55itgcl 19138 . . 3  |-  ( ph  ->  S. S ( G `
 x )  _d x  e.  CC )
13441, 47itgcl 19138 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  e.  CC )
1351, 2, 124, 132, 133, 134clim2c 11979 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
136120, 135mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   abscabs 11719    ~~> cli 11958   vol *covol 18822   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   L ^1cibl 18972   S.citg 18973   ~~> uculm 19755
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025  df-ulm 19756
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