MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm Unicode version

Theorem itgulm 20002
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> L ^1 )
itgulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
itgulm.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgulm  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, G, x    ph, k, x    k, M, x    S, k, x    k, Z, x

Proof of Theorem itgulm
Dummy variables  j  n  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
4 itgulm.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : Z --> L ^1 )
5 ffn 5495 . . . . . . . 8  |-  ( F : Z --> L ^1 
->  F  Fn  Z
)
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
7 itgulm.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
8 ulmf2 19978 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
11 eqidd 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( F `  n ) `  z )  =  ( ( F `  n
) `  z )
)
12 eqidd 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
137adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
14 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
15 itgulm.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
1615adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol `  S )  e.  RR )
17 ulmcl 19975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
18 fdm 5499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : S --> CC  ->  dom 
G  =  S )
197, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  S )
201, 2, 4, 7, 15iblulm 20001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  L ^1 )
21 iblmbf 19337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  L ^1  ->  G  e. MblFn )
22 mbfdm 19198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2419, 23eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  vol )
25 mblss 19105 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  S 
C_  RR )
26 ovolge0 19055 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  S ) )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol * `
 S ) )
28 mblvol 19104 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  ( vol `  S )  =  ( vol * `  S ) )
2924, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  =  ( vol
* `  S )
)
3027, 29breqtrrd 4151 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3130adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3216, 31ge0p1rpd 10567 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  S )  +  1 )  e.  RR+ )
3314, 32rpdivcld 10558 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  e.  RR+ )
341, 3, 10, 11, 12, 13, 33ulmi 19980 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
351uztrn2 10396 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
36 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
379, 36sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S
) )
38 elmapi 6935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
40 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
) : S --> CC  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  n ) `  x
)  e.  CC )
4139, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  CC )
4241adantllr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( F `  n ) `  x )  e.  CC )
4342adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  n ) `  x
)  e.  CC )
4439feqmptd 5682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
45 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : Z --> L ^1 
/\  n  e.  Z
)  ->  ( F `  n )  e.  L ^1 )
464, 45sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  L ^1 )
4744, 46eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  e.  L ^1 )
4847ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  e.  L ^1 )
497, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
50 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G : S --> CC  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
5149, 50sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5251adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5352adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
5449feqmptd 5682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  S  |->  ( G `
 x ) ) )
5554, 20eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L ^1 )
5655ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L ^1 )
5743, 48, 53, 56itgsub 19395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  =  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )
5857fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  =  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) ) )
5943, 53subcld 9304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
)  e.  CC )
6043, 48, 53, 56iblsub 19391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  e.  L ^1 )
6159, 60itgcl 19353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  e.  CC )
6261abscld 12125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  e.  RR )
6359abscld 12125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR )
6459, 60iblabs 19398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ) )  e.  L ^1 )
6563, 64itgrecl 19367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  e.  RR )
66 rpre 10511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6766ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  RR )
6859, 60itgabs 19404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <_  S. S ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  _d x )
6933adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7069rpred 10541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
7115ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  RR )
7270, 71remulcld 9010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
73 fconstmpt 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  X.  { ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) } )  =  ( x  e.  S  |->  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
7424ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S  e.  dom  vol )
7569rpcnd 10543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )
76 iblconst 19387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( S  X.  { ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L ^1 )
7774, 71, 75, 76syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( S  X.  {
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L ^1 )
7873, 77syl5eqelr 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
7970adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
80 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
81 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
82 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
8381, 82oveq12d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
8483fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) ) )
8584breq1d 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
8685rspccva 2968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8780, 86sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8863, 79, 87ltled 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8964, 78, 63, 79, 88itgle 19379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x )
90 itgconst 19388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  S. S ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
9174, 71, 75, 90syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
9289, 91breqtrd 4149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_ 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
9367recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  CC )
9471recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  CC )
9532adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR+ )
9695rpcnd 10543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  CC )
9795rpne0d 10546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  =/=  0 )
9893, 94, 96, 97div23d 9720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  =  ( ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  x.  ( vol `  S
) ) )
9971ltp1d 9834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 ) )
100 peano2re 9132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol `  S )  e.  RR  ->  (
( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
10171, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
102 rpgt0 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
103102ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  r )
104 ltmul2 9754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
r  e.  RR  /\  0  <  r ) )  ->  ( ( vol `  S )  <  (
( vol `  S
)  +  1 )  <-> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )
10571, 101, 67, 103, 104syl112anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 )  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
10699, 105mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
10767, 71remulcld 9010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
108107, 67, 95ltdivmul2d 10589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
109106, 108mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r )
11098, 109eqbrtrrd 4147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  < 
r )
11165, 72, 67, 92, 110lelttrd 9121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  < 
r )
11262, 65, 67, 68, 111lelttrd 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <  r )
11358, 112eqbrtrrd 4147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
114113expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
) )
11535, 114sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
116115anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
117116ralimdva 2706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
118117reximdva 2740 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
11934, 118mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
120119ralrimiva 2711 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
)
121 fvex 5646 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1221, 121eqeltri 2436 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
123122mptex 5866 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  e.  _V
124123a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  e.  _V )
125 fveq2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
126125fveq1d 5634 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  x )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
127126adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  n  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  x
)  =  ( ( F `  n ) `
 x ) )
128127itgeq2dv 19351 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  S. S ( ( F `
 k ) `  x )  _d x  =  S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x )
129 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )
130 itgex 19340 . . . . 5  |-  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x  e. 
_V
131128, 129, 130fvmpt 5709 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
132131adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
13351, 55itgcl 19353 . . 3  |-  ( ph  ->  S. S ( G `
 x )  _d x  e.  CC )
13441, 47itgcl 19353 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  e.  CC )
1351, 2, 124, 132, 133, 134clim2c 12186 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
136120, 135mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    C_ wss 3238   {csn 3729   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179    X. cxp 4790   dom cdm 4792    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   CCcc 8882   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887    x. cmul 8889    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   RR+crp 10505   abscabs 11926    ~~> cli 12165   vol *covol 19037   volcvol 19038  MblFncmbf 19184   L ^1cibl 19187   S.citg 19188   ~~> uculm 19970
This theorem is referenced by:  itgulm2  20003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-disj 4096  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-cmp 17331  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-ovol 19039  df-vol 19040  df-mbf 19190  df-itg1 19191  df-itg2 19192  df-ibl 19193  df-itg 19194  df-0p 19240  df-ulm 19971
  Copyright terms: Public domain W3C validator