MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Unicode version

Theorem itgz 19532
Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz  |-  S. A
0  _d x  =  0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . 3  |-  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) )
21dfitg 19521 . 2  |-  S. A
0  _d x  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 ax-icn 8975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
4 elfznn0 11008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5 expcl 11319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
7 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
8 ine0 9394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  =/=  0
9 expne0i 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
103, 8, 9mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
126, 11div0d 9714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 11877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615ifeq1d 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
17 ifid 3707 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
1816, 17syl6eq 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
1918mpteq2dv 4230 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
20 fconstmpt 4854 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2119, 20syl6eqr 2430 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
2221fveq2d 5665 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR 
X.  { 0 } ) ) )
23 itg20 19489 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2422, 23syl6eq 2428 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
2524oveq2d 6029 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  0 ) )
266mul01d 9190 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  0 )  =  0 )
2725, 26eqtrd 2412 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0 )
2827sumeq2i 12413 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) 0
29 fzfi 11231 . . . 4  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
3029olci 381 . . 3  |-  ( ( 0 ... 3 ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin )
31 sumz 12436 . . 3  |-  ( ( ( 0 ... 3
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... 3 )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0 )
3230, 31ax-mp 8 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0
332, 28, 323eqtri 2404 1  |-  S. A
0  _d x  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543    C_ wss 3256   ifcif 3675   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   _ici 8918    x. cmul 8921    <_ cle 9047    / cdiv 9602   3c3 9975   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968   ^cexp 11302   Recre 11822   sum_csu 12399   S.2citg2 19368   S.citg 19370
This theorem is referenced by:  itgge0  19562  itgfsum  19578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-disj 4117  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xadd 10636  df-ioo 10845  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-xmet 16612  df-met 16613  df-ovol 19221  df-vol 19222  df-mbf 19372  df-itg1 19373  df-itg2 19374  df-itg 19376  df-0p 19422
  Copyright terms: Public domain W3C validator