MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunifn Unicode version

Theorem itunifn 8043
Description: Functionality of the iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunifn  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  Fn  om )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem itunifn
StepHypRef Expression
1 frfnom 6447 . 2  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  Fn  om
2 ituni.u . . . 4  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
32itunifval 8042 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
43fneq1d 5335 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( U `  A
)  Fn  om  <->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  Fn  om ) )
51, 4mpbiri 224 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  Fn  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   omcom 4656    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  itunisuc  8045  itunitc1  8046  itunitc  8047  ituniiun  8048  hsmexlem5  8056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator