MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunifval Unicode version

Theorem itunifval 8260
Description: Function value of iterated unions. EDITORIAL: The iterated unions and order types of ordered sets are split out here because they could concievably be independently useful. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunifval  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem itunifval
StepHypRef Expression
1 elex 2932 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 rdgeq2 6637 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  x )  =  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A ) )
32reseq1d 5112 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
4 ituni.u . . 3  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
5 rdgfun 6641 . . . 4  |-  Fun  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )
6 omex 7562 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 resfunexg 5924 . . . 4  |-  ( ( Fun  rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  e.  _V )
85, 6, 7mp2an 654 . . 3  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  e.  _V
93, 4, 8fvmpt 5773 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
101, 9syl 16 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   U.cuni 3983    e. cmpt 4234   omcom 4812    |` cres 4847   Fun wfun 5415   ` cfv 5421   reccrdg 6634
This theorem is referenced by:  itunifn  8261  ituni0  8262  itunisuc  8263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-recs 6600  df-rdg 6635
  Copyright terms: Public domain W3C validator