Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ituniiun Structured version   Unicode version

Theorem ituniiun 8304
 Description: Unwrap an iterated union from the "other end". (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u
Assertion
Ref Expression
ituniiun
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem ituniiun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . 4
21fveq1d 5732 . . 3
3 iuneq1 4108 . . 3
42, 3eqeq12d 2452 . 2
5 suceq 4648 . . . . . 6
65fveq2d 5734 . . . . 5
7 fveq2 5730 . . . . . 6
87iuneq2d 4120 . . . . 5
96, 8eqeq12d 2452 . . . 4
10 suceq 4648 . . . . . 6
1110fveq2d 5734 . . . . 5
12 fveq2 5730 . . . . . 6
1312iuneq2d 4120 . . . . 5
1411, 13eqeq12d 2452 . . . 4
15 suceq 4648 . . . . . 6
1615fveq2d 5734 . . . . 5
17 fveq2 5730 . . . . . 6
1817iuneq2d 4120 . . . . 5
1916, 18eqeq12d 2452 . . . 4
20 suceq 4648 . . . . . 6
2120fveq2d 5734 . . . . 5
22 fveq2 5730 . . . . . 6
2322iuneq2d 4120 . . . . 5
2421, 23eqeq12d 2452 . . . 4
25 uniiun 4146 . . . . 5
26 ituni.u . . . . . . 7
2726itunisuc 8301 . . . . . 6
28 vex 2961 . . . . . . . 8
2926ituni0 8300 . . . . . . . 8
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . 7
3130unieqi 4027 . . . . . 6
3227, 31eqtri 2458 . . . . 5
3326ituni0 8300 . . . . . 6
3433iuneq2i 4113 . . . . 5
3525, 32, 343eqtr4i 2468 . . . 4
3626itunisuc 8301 . . . . . 6
37 unieq 4026 . . . . . . 7
3826itunisuc 8301 . . . . . . . . . 10
3938a1i 11 . . . . . . . . 9
4039iuneq2i 4113 . . . . . . . 8
41 iuncom4 4102 . . . . . . . 8
4240, 41eqtr2i 2459 . . . . . . 7
4337, 42syl6eq 2486 . . . . . 6
4436, 43syl5eq 2482 . . . . 5
4544a1i 11 . . . 4
469, 14, 19, 24, 35, 45finds 4873 . . 3
47 iun0 4149 . . . . 5
4847eqcomi 2442 . . . 4
49 peano2b 4863 . . . . . 6
5026itunifn 8299 . . . . . . . 8
51 fndm 5546 . . . . . . . 8
5228, 50, 51mp2b 10 . . . . . . 7
5352eleq2i 2502 . . . . . 6
5449, 53bitr4i 245 . . . . 5
55 ndmfv 5757 . . . . 5
5654, 55sylnbi 299 . . . 4
57 vex 2961 . . . . . . . 8
5826itunifn 8299 . . . . . . . 8
59 fndm 5546 . . . . . . . 8
6057, 58, 59mp2b 10 . . . . . . 7
6160eleq2i 2502 . . . . . 6
62 ndmfv 5757 . . . . . 6
6361, 62sylnbir 300 . . . . 5
6463iuneq2d 4120 . . . 4
6548, 56, 643eqtr4a 2496 . . 3
6646, 65pm2.61i 159 . 2
674, 66vtoclg 3013 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  c0 3630  cuni 4017  ciun 4095   cmpt 4268   csuc 4585  com 4847   cdm 4880   cres 4882   wfn 5451  cfv 5456  crdg 6669 This theorem is referenced by:  hsmexlem4  8311 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670
 Copyright terms: Public domain W3C validator