MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunisuc Unicode version

Theorem itunisuc 8233
Description: Successor iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunisuc  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem itunisuc
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frsuc 6631 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )
2 fvex 5683 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
)  e.  _V
3 unieq 3967 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )  ->  U. a  =  U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
4 unieq 3967 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  U. y  =  U. a )
54cbvmptv 4242 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  |->  U. y
)  =  ( a  e.  _V  |->  U. a
)
62uniex 4646 . . . . . . . 8  |-  U. (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V
73, 5, 6fvmpt 5746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) `  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
82, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )
91, 8syl6eq 2436 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
109adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
11 ituni.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
1211itunifval 8230 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
1312fveq1d 5671 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1413adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1512fveq1d 5671 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
) )
1716unieqd 3969 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
1810, 14, 173eqtr4d 2430 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  U. (
( U `  A
) `  B )
)
19 uni0 3985 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
2019eqcomi 2392 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
2111itunifn 8231 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  Fn  om )
22 fndm 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U `  A )  Fn  om  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2423eleq2d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  suc 
B  e.  om )
)
25 peano2b 4802 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  <->  suc  B  e. 
om )
2624, 25syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  B  e.  om ) )
2726notbid 286 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
2827biimpar 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  suc  B  e. 
dom  ( U `  A ) )
29 ndmfv 5696 . . . . 5  |-  ( -. 
suc  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3123eleq2d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  dom  ( U `
 A )  <->  B  e.  om ) )
3231notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
3332biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  B  e.  dom  ( U `  A
) )
34 ndmfv 5696 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  (/) )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  B )  =  (/) )
3635unieqd 3969 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. (/) )
3720, 30, 363eqtr4a 2446 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `  B
) )
3818, 37pm2.61dan 767 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
39 fv01 5703 . . . . 5  |-  ( (/) `  B )  =  (/)
4039unieqi 3968 . . . 4  |-  U. ( (/) `  B )  =  U. (/)
41 fv01 5703 . . . 4  |-  ( (/) ` 
suc  B )  =  (/)
4219, 40, 413eqtr4ri 2419 . . 3  |-  ( (/) ` 
suc  B )  = 
U. ( (/) `  B
)
43 fvprc 5663 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  (/) )
4443fveq1d 5671 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  ( (/) `  suc  B ) )
4543fveq1d 5671 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  B )  =  ( (/) `  B
) )
4645unieqd 3969 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( ( U `  A ) `  B
)  =  U. ( (/) `  B ) )
4742, 44, 463eqtr4a 2446 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
4838, 47pm2.61i 158 1  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   (/)c0 3572   U.cuni 3958    e. cmpt 4208   suc csuc 4525   omcom 4786   dom cdm 4819    |` cres 4821    Fn wfn 5390   ` cfv 5395   reccrdg 6604
This theorem is referenced by:  itunitc1  8234  itunitc  8235  ituniiun  8236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-recs 6570  df-rdg 6605
  Copyright terms: Public domain W3C validator