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Theorem itunisuc 8045
Description: Successor iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunisuc  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem itunisuc
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frsuc 6449 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )
2 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
)  e.  _V
3 unieq 3836 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )  ->  U. a  =  U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
4 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  U. y  =  U. a )
54cbvmptv 4111 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  |->  U. y
)  =  ( a  e.  _V  |->  U. a
)
62uniex 4516 . . . . . . . 8  |-  U. (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V
73, 5, 6fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) `  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
82, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )
91, 8syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
109adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
11 ituni.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
1211itunifval 8042 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
1312fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1512fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
) )
1716unieqd 3838 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
1810, 14, 173eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  U. (
( U `  A
) `  B )
)
19 uni0 3854 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
2019eqcomi 2287 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
2111itunifn 8043 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  Fn  om )
22 fndm 5343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U `  A )  Fn  om  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2423eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  suc 
B  e.  om )
)
25 peano2b 4672 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  <->  suc  B  e. 
om )
2624, 25syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  B  e.  om ) )
2726notbid 285 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
2827biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  suc  B  e. 
dom  ( U `  A ) )
29 ndmfv 5552 . . . . 5  |-  ( -. 
suc  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3028, 29syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3123eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  dom  ( U `
 A )  <->  B  e.  om ) )
3231notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
3332biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  B  e.  dom  ( U `  A
) )
34 ndmfv 5552 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  (/) )
3533, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  B )  =  (/) )
3635unieqd 3838 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. (/) )
3720, 30, 363eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `  B
) )
3818, 37pm2.61dan 766 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
39 fv01 5559 . . . . 5  |-  ( (/) `  B )  =  (/)
4039unieqi 3837 . . . 4  |-  U. ( (/) `  B )  =  U. (/)
41 fv01 5559 . . . 4  |-  ( (/) ` 
suc  B )  =  (/)
4219, 40, 413eqtr4ri 2314 . . 3  |-  ( (/) ` 
suc  B )  = 
U. ( (/) `  B
)
43 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  (/) )
4443fveq1d 5527 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  ( (/) `  suc  B ) )
4543fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  B )  =  ( (/) `  B
) )
4645unieqd 3838 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( ( U `  A ) `  B
)  =  U. ( (/) `  B ) )
4742, 44, 463eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
4838, 47pm2.61i 156 1  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  itunitc1  8046  itunitc  8047  ituniiun  8048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
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