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Theorem itunisuc 8291
Description: Successor iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunisuc  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem itunisuc
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frsuc 6686 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )
2 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
)  e.  _V
3 unieq 4016 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )  ->  U. a  =  U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
4 unieq 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  U. y  =  U. a )
54cbvmptv 4292 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  |->  U. y
)  =  ( a  e.  _V  |->  U. a
)
62uniex 4697 . . . . . . . 8  |-  U. (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V
73, 5, 6fvmpt 5798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) `  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
82, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )
91, 8syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
109adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
11 ituni.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
1211itunifval 8288 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
1312fveq1d 5722 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1413adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1512fveq1d 5722 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
) )
1716unieqd 4018 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
1810, 14, 173eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  U. (
( U `  A
) `  B )
)
19 uni0 4034 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
2019eqcomi 2439 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
2111itunifn 8289 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  Fn  om )
22 fndm 5536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U `  A )  Fn  om  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2423eleq2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  suc 
B  e.  om )
)
25 peano2b 4853 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  <->  suc  B  e. 
om )
2624, 25syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  B  e.  om ) )
2726notbid 286 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
2827biimpar 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  suc  B  e. 
dom  ( U `  A ) )
29 ndmfv 5747 . . . . 5  |-  ( -. 
suc  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3028, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3123eleq2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  dom  ( U `
 A )  <->  B  e.  om ) )
3231notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
3332biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  B  e.  dom  ( U `  A
) )
34 ndmfv 5747 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  (/) )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  B )  =  (/) )
3635unieqd 4018 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. (/) )
3720, 30, 363eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `  B
) )
3818, 37pm2.61dan 767 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
39 fv01 5755 . . . . 5  |-  ( (/) `  B )  =  (/)
4039unieqi 4017 . . . 4  |-  U. ( (/) `  B )  =  U. (/)
41 fv01 5755 . . . 4  |-  ( (/) ` 
suc  B )  =  (/)
4219, 40, 413eqtr4ri 2466 . . 3  |-  ( (/) ` 
suc  B )  = 
U. ( (/) `  B
)
43 fvprc 5714 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  (/) )
4443fveq1d 5722 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  ( (/) `  suc  B ) )
4543fveq1d 5722 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  B )  =  ( (/) `  B
) )
4645unieqd 4018 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( ( U `  A ) `  B
)  =  U. ( (/) `  B ) )
4742, 44, 463eqtr4a 2493 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
4838, 47pm2.61i 158 1  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   suc csuc 4575   omcom 4837   dom cdm 4870    |` cres 4872    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   reccrdg 6659
This theorem is referenced by:  itunitc1  8292  itunitc  8293  ituniiun  8294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
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