Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunisuc Structured version   Unicode version

Theorem itunisuc 8291
 Description: Successor iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u
Assertion
Ref Expression
itunisuc
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem itunisuc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frsuc 6686 . . . . . 6
2 fvex 5734 . . . . . . 7
3 unieq 4016 . . . . . . . 8
4 unieq 4016 . . . . . . . . 9
54cbvmptv 4292 . . . . . . . 8
62uniex 4697 . . . . . . . 8
73, 5, 6fvmpt 5798 . . . . . . 7
82, 7ax-mp 8 . . . . . 6
91, 8syl6eq 2483 . . . . 5
109adantl 453 . . . 4
11 ituni.u . . . . . . 7
1211itunifval 8288 . . . . . 6
1312fveq1d 5722 . . . . 5
1413adantr 452 . . . 4
1512fveq1d 5722 . . . . . 6
1615adantr 452 . . . . 5
1716unieqd 4018 . . . 4
1810, 14, 173eqtr4d 2477 . . 3
19 uni0 4034 . . . . 5
2019eqcomi 2439 . . . 4
2111itunifn 8289 . . . . . . . . . 10
22 fndm 5536 . . . . . . . . . 10
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9
2423eleq2d 2502 . . . . . . . 8
25 peano2b 4853 . . . . . . . 8
2624, 25syl6bbr 255 . . . . . . 7
2726notbid 286 . . . . . 6
2827biimpar 472 . . . . 5
29 ndmfv 5747 . . . . 5
3028, 29syl 16 . . . 4
3123eleq2d 2502 . . . . . . . 8
3231notbid 286 . . . . . . 7
3332biimpar 472 . . . . . 6
34 ndmfv 5747 . . . . . 6
3533, 34syl 16 . . . . 5
3635unieqd 4018 . . . 4
3720, 30, 363eqtr4a 2493 . . 3
3818, 37pm2.61dan 767 . 2
39 fv01 5755 . . . . 5
4039unieqi 4017 . . . 4
41 fv01 5755 . . . 4
4219, 40, 413eqtr4ri 2466 . . 3
43 fvprc 5714 . . . 4
4443fveq1d 5722 . . 3
4543fveq1d 5722 . . . 4
4645unieqd 4018 . . 3
4742, 44, 463eqtr4a 2493 . 2
4838, 47pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  c0 3620  cuni 4007   cmpt 4258   csuc 4575  com 4837   cdm 4870   cres 4872   wfn 5441  cfv 5446  crdg 6659 This theorem is referenced by:  itunitc1  8292  itunitc  8293  ituniiun  8294 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660
 Copyright terms: Public domain W3C validator