Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunitc Structured version   Unicode version

Theorem itunitc 8301
 Description: The union of all union iterates creates the transitive closure; compare trcl 7664. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u
Assertion
Ref Expression
itunitc
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem itunitc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . 4
2 fveq2 5728 . . . . . 6
32rneqd 5097 . . . . 5
43unieqd 4026 . . . 4
51, 4eqeq12d 2450 . . 3
6 vex 2959 . . . . . . 7
7 ituni.u . . . . . . . 8
87ituni0 8298 . . . . . . 7
96, 8ax-mp 8 . . . . . 6
10 fvssunirn 5754 . . . . . 6
119, 10eqsstr3i 3379 . . . . 5
12 dftr3 4306 . . . . . 6
137itunifn 8297 . . . . . . . 8
14 fnunirn 5999 . . . . . . . 8
156, 13, 14mp2b 10 . . . . . . 7
16 elssuni 4043 . . . . . . . . 9
177itunisuc 8299 . . . . . . . . . 10
18 fvssunirn 5754 . . . . . . . . . 10
1917, 18eqsstr3i 3379 . . . . . . . . 9
2016, 19syl6ss 3360 . . . . . . . 8
2120rexlimivw 2826 . . . . . . 7
2215, 21sylbi 188 . . . . . 6
2312, 22mprgbir 2776 . . . . 5
24 tcmin 7680 . . . . . 6
256, 24ax-mp 8 . . . . 5
2611, 23, 25mp2an 654 . . . 4
27 unissb 4045 . . . . 5
28 fvelrnb 5774 . . . . . . 7
296, 13, 28mp2b 10 . . . . . 6
307itunitc1 8300 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
32 sseq1 3369 . . . . . . . 8
3331, 32syl5ibcom 212 . . . . . . 7
3433rexlimiv 2824 . . . . . 6
3529, 34sylbi 188 . . . . 5
3627, 35mprgbir 2776 . . . 4
3726, 36eqssi 3364 . . 3
385, 37vtoclg 3011 . 2
39 rn0 5127 . . . . 5
4039unieqi 4025 . . . 4
41 uni0 4042 . . . 4
4240, 41eqtr2i 2457 . . 3
43 fvprc 5722 . . 3
44 fvprc 5722 . . . . 5
4544rneqd 5097 . . . 4
4645unieqd 4026 . . 3
4742, 43, 463eqtr4a 2494 . 2
4838, 47pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706  cvv 2956   wss 3320  c0 3628  cuni 4015   cmpt 4266   wtr 4302   csuc 4583  com 4845   crn 4879   cres 4880   wfn 5449  cfv 5454  crdg 6667  ctc 7675 This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8310 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-tc 7676
 Copyright terms: Public domain W3C validator