Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunitc1 Unicode version

Theorem itunitc1 8046
 Description: Each union iterate is a member of the transitive closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u
Assertion
Ref Expression
itunitc1
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem itunitc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5
21fveq1d 5527 . . . 4
3 fveq2 5525 . . . 4
42, 3sseq12d 3207 . . 3
5 fveq2 5525 . . . . . 6
65sseq1d 3205 . . . . 5
7 fveq2 5525 . . . . . 6
87sseq1d 3205 . . . . 5
9 fveq2 5525 . . . . . 6
109sseq1d 3205 . . . . 5
11 fveq2 5525 . . . . . 6
1211sseq1d 3205 . . . . 5
13 vex 2791 . . . . . 6
14 ituni.u . . . . . . . 8
1514ituni0 8044 . . . . . . 7
16 tcid 7424 . . . . . . 7
1715, 16eqsstrd 3212 . . . . . 6
1813, 17ax-mp 8 . . . . 5
1914itunisuc 8045 . . . . . . 7
20 tctr 7425 . . . . . . . . . 10
21 pwtr 4226 . . . . . . . . . 10
2220, 21mpbi 199 . . . . . . . . 9
23 trss 4122 . . . . . . . . 9
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8
25 fvex 5539 . . . . . . . . 9
2625elpw 3631 . . . . . . . 8
27 sspwuni 3987 . . . . . . . 8
2824, 26, 273imtr3i 256 . . . . . . 7
2919, 28syl5eqss 3222 . . . . . 6
3029a1i 10 . . . . 5
316, 8, 10, 12, 18, 30finds 4682 . . . 4
32 0ss 3483 . . . . 5
3314itunifn 8043 . . . . . . . . 9
34 fndm 5343 . . . . . . . . 9
3513, 33, 34mp2b 9 . . . . . . . 8
3635eleq2i 2347 . . . . . . 7
37 ndmfv 5552 . . . . . . 7
3836, 37sylnbir 298 . . . . . 6
3938sseq1d 3205 . . . . 5
4032, 39mpbiri 224 . . . 4
4131, 40pm2.61i 156 . . 3
424, 41vtoclg 2843 . 2
43 0ss 3483 . . 3
44 fvprc 5519 . . . . . 6
4544fveq1d 5527 . . . . 5
46 fv01 5559 . . . . 5
4745, 46syl6eq 2331 . . . 4
4847sseq1d 3205 . . 3
4943, 48mpbiri 224 . 2
5042, 49pm2.61i 156 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  cuni 3827   cmpt 4077   wtr 4113   csuc 4394  com 4656   cdm 4689   cres 4691   wfn 5250  cfv 5255  crdg 6422  ctc 7421 This theorem is referenced by:  itunitc  8047 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-tc 7422
 Copyright terms: Public domain W3C validator