MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iuncld Unicode version

Theorem iuncld 16782
Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iuncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, J    x, X    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iuncld
StepHypRef Expression
1 difin 3406 . . . 4  |-  ( X 
\  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )
2 iundif2 3969 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )
31, 2eqtr4i 2306 . . 3  |-  ( X 
\  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B ) )
4 clscld.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
54cldss 16766 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  X
)
6 dfss4 3403 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
75, 6sylib 188 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
87ralimi 2618 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
983ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
10 iuneq2 3921 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B ) )  =  B  ->  U_ x  e.  A  ( X  \ 
( X  \  B
) )  =  U_ x  e.  A  B
)
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  U_ x  e.  A  B
)
123, 11syl5eq 2327 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  =  U_ x  e.  A  B
)
13 simp1 955 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
144cldopn 16768 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  B )  e.  J
)
1514ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( X  \  B )  e.  J
)
164riinopn 16654 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( X  \  B )  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )  e.  J )
1715, 16syl3an3 1217 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )  e.  J )
184opncld 16770 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )  e.  J )  ->  ( X  \  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
1913, 17, 18syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
2012, 19eqeltrrd 2358 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   U_ciun 3905   |^|_ciin 3906   ` cfv 5255   Fincfn 6863   Topctop 16631   Clsdccld 16753
This theorem is referenced by:  unicld  16783  t1ficld  17055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-top 16636  df-cld 16756
  Copyright terms: Public domain W3C validator