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Theorem iuncom4 3912
Description: Commutation of union with indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iuncom4  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B

Proof of Theorem iuncom4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
21rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
3 rexcom4 2807 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
42, 3bitri 240 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
5 r19.41v 2693 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
65exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( z  e.  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z
( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z
) )
74, 6bitri 240 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
8 eluni2 3831 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  y  e.  z )
98rexbii 2568 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. x  e.  A  E. z  e.  B  y  e.  z )
10 df-rex 2549 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z ) )
11 eliun 3909 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
1211anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z )
)
1312exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  e. 
U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  z )  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
1410, 13bitri 240 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z  <->  E. z ( E. x  e.  A  z  e.  B  /\  y  e.  z ) )
157, 9, 143bitr4i 268 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  U. B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
16 eliun 3909 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  E. x  e.  A  y  e.  U. B )
17 eluni2 3831 . . 3  |-  ( y  e.  U. U_ x  e.  A  B  <->  E. z  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  z )
1815, 16, 173bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  U. B  <->  y  e.  U.
U_ x  e.  A  B )
1918eqriv 2280 1  |-  U_ x  e.  A  U. B  = 
U. U_ x  e.  A  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   U.cuni 3827   U_ciun 3905
This theorem is referenced by:  ituniiun  8048  tgidm  16718  txcmplem2  17336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-uni 3828  df-iun 3907
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