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Theorem iuncon 17483
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iuncon.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iuncon.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iuncon.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iuncon  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    A, k    k, J    P, k    k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem iuncon
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
2 simplr1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
3 n0 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
4 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
54sseli 3336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  v  e.  U_ k  e.  A  B )
6 eliun 4089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  v  e.  B )
7 rexn0 3722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  A  v  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
86, 7sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  ->  A  =/=  (/) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
109exlimiv 1644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
113, 10sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
122, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A  =/=  (/) )
13 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ph )
14 iuncon.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
1514ralrimiva 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
17 r19.2z 3709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
1812, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
19 eliun 4089 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
2018, 19sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  U_ k  e.  A  B
)
211, 20sseldd 3341 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  ( u  u.  v
) )
22 elun 3480 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
2321, 22sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
24 iuncon.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2513, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
26 iuncon.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2713, 26sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2813, 14sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
29 iuncon.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
3013, 29sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
31 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )
3231simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  u  e.  J )
3331simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  v  e.  J )
34 simplr2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 simplr3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
36 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)
37 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
u
38 nfiu1 4113 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3937, 38nfin 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
40 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k (/)
4139, 40nfne 2689 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
42 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
v
4342, 38nfin 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
4443, 40nfne 2689 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
45 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
46 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k X
4746, 38nfdif 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4845, 47nfss 3333 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4941, 44, 48nf3an 1849 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
5036, 49nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )
5137, 42nfun 3495 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
5238, 51nfss 3333 . . . . . . . 8  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
5350, 52nfan 1846 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
5425, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53iunconlem 17482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  u )
55 incom 3525 . . . . . . . 8  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
5655, 35syl5eqss 3384 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  u )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
57 uncom 3483 . . . . . . . 8  |-  ( u  u.  v )  =  ( v  u.  u
)
581, 57syl6sseq 3386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
v  u.  u ) )
5925, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53iunconlem 17482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  v )
60 ioran 477 . . . . . 6  |-  ( -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
)  <->  ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v ) )
6154, 59, 60sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6223, 61pm2.65da 560 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)  /\  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
6362ex 424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6463ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6526ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
66 iunss 4124 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
6765, 66sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
68 connsub 17476 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
6924, 67, 68syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
7064, 69mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U_ciun 4085   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  TopOnctopon 16951   Conccon 17466
This theorem is referenced by:  uncon  17484  concompcon  17487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-con 17467
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