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Theorem iuncon 17154
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iuncon.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iuncon.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iuncon.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iuncon  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    A, k    k, J    P, k    k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem iuncon
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
2 simplr1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
3 n0 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
4 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
54sseli 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  v  e.  U_ k  e.  A  B )
6 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  v  e.  B )
7 rexn0 3556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  A  v  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
86, 7sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  ->  A  =/=  (/) )
95, 8syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
109exlimiv 1666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
113, 10sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
122, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A  =/=  (/) )
13 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ph )
14 iuncon.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
1514ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
1613, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
17 r19.2z 3543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
1812, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
19 eliun 3909 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
2018, 19sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  U_ k  e.  A  B
)
211, 20sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  ( u  u.  v
) )
22 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
2321, 22sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
24 iuncon.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2513, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
26 iuncon.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2713, 26sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2813, 14sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
29 iuncon.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
3013, 29sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
31 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )
3231simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  u  e.  J )
3331simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  v  e.  J )
34 simplr2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 simplr3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
36 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)
37 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
u
38 nfiu1 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3937, 38nfin 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
40 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k (/)
4139, 40nfne 2539 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
42 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
v
4342, 38nfin 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
4443, 40nfne 2539 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
45 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
46 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k X
4746, 38nfdif 3297 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4845, 47nfss 3173 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4941, 44, 48nf3an 1774 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
5036, 49nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )
5137, 42nfun 3331 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
5238, 51nfss 3173 . . . . . . . 8  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
5350, 52nfan 1771 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
5425, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53iunconlem 17153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  u )
55 incom 3361 . . . . . . . 8  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
5655, 35syl5eqss 3222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  u )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
57 uncom 3319 . . . . . . . 8  |-  ( u  u.  v )  =  ( v  u.  u
)
581, 57syl6sseq 3224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
v  u.  u ) )
5925, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53iunconlem 17153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  v )
60 ioran 476 . . . . . 6  |-  ( -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
)  <->  ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v ) )
6154, 59, 60sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6223, 61pm2.65da 559 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)  /\  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
6362ex 423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6463ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6526ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
66 iunss 3943 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
6765, 66sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
68 connsub 17147 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
6924, 67, 68syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
7064, 69mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325  TopOnctopon 16632   Conccon 17137
This theorem is referenced by:  uncon  17155  concompcon  17158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-con 17138
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