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Theorem iunconlem 17370
Description: Lemma for iuncon 17371. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iuncon.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iuncon.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iuncon.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
iuncon.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
iuncon.7  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
iuncon.8  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
iuncon.9  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
iuncon.10  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
iuncon.11  |-  F/ k
ph
Assertion
Ref Expression
iunconlem  |-  ( ph  ->  -.  P  e.  U
)
Distinct variable groups:    A, k    k, J    P, k    k, X    U, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem iunconlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuncon.8 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
2 n0 3552 . . 3  |-  ( ( V  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
4 elin 3446 . . . 4  |-  ( x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  <->  ( x  e.  V  /\  x  e. 
U_ k  e.  A  B ) )
5 eliun 4011 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  x  e.  B )
6 iuncon.11 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
7 nfv 1624 . . . . . . . 8  |-  F/ k  x  e.  V
86, 7nfan 1834 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  x  e.  V )
9 nfv 1624 . . . . . . 7  |-  F/ k  -.  P  e.  U
10 iuncon.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
1110adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  ( Jt  B
)  e.  Con )
12 iuncon.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
14 iuncon.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  X )
16 iuncon.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U  e.  J )
18 iuncon.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
1918ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  V  e.  J )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  P  e.  U )
21 iuncon.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  P  e.  B )
23 inelcm 3597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  U  /\  P  e.  B )  ->  ( U  i^i  B
)  =/=  (/) )
2420, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  B
)  =/=  (/) )
25 inelcm 3597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( V  i^i  B
)  =/=  (/) )
2625ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( V  i^i  B
)  =/=  (/) )
27 iuncon.9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
29 ssiun2 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  ->  B  C_ 
U_ k  e.  A  B )
3029ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  U_ k  e.  A  B )
31 sscon 3397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  U_ k  e.  A  B  ->  ( X  \  U_ k  e.  A  B )  C_  ( X  \  B ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( X  \  U_ k  e.  A  B
)  C_  ( X  \  B ) )
3328, 32sstrd 3275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  ( X  \  B ) )
34 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  V )  C_  U
35 toponss 16884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U  e.  J )  ->  U  C_  X )
3613, 17, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U  C_  X )
3734, 36syl5ss 3276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  X )
38 reldisj 3586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  i^i  V ) 
C_  X  ->  (
( ( U  i^i  V )  i^i  B )  =  (/)  <->  ( U  i^i  V )  C_  ( X  \  B ) ) )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( ( ( U  i^i  V )  i^i 
B )  =  (/)  <->  ( U  i^i  V )  C_  ( X  \  B ) ) )
4033, 39mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( ( U  i^i  V )  i^i  B )  =  (/) )
41 iuncon.10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
4330, 42sstrd 3275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  ( U  u.  V ) )
4413, 15, 17, 19, 24, 26, 40, 43nconsubb 17366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  -.  ( Jt  B )  e.  Con )
4544expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  ( P  e.  U  ->  -.  ( Jt  B )  e.  Con ) )
4611, 45mt2d 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  -.  P  e.  U )
4746an4s 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  V )  /\  (
k  e.  A  /\  x  e.  B )
)  ->  -.  P  e.  U )
4847exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
k  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  -.  P  e.  U
) ) )
498, 9, 48rexlimd 2749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( E. k  e.  A  x  e.  B  ->  -.  P  e.  U ) )
505, 49syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  e.  U_ k  e.  A  B  ->  -.  P  e.  U ) )
5150expimpd 586 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  V  /\  x  e. 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  P  e.  U )
)
524, 51syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  -.  P  e.  U
) )
5352exlimdv 1641 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  ->  -.  P  e.  U ) )
543, 53mpd 14 1  |-  ( ph  ->  -.  P  e.  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1546   F/wnf 1549    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   E.wrex 2629    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   U_ciun 4007   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   ↾t crest 13535  TopOnctopon 16849   Conccon 17354
This theorem is referenced by:  iuncon  17371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-fin 7010  df-fi 7312  df-rest 13537  df-topgen 13554  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cld 16973  df-con 17355
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