MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Unicode version

Theorem iunctb 8212
Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 8213). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)
2 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3 reldom 6885 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
43brrelexi 4745 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A  e.  _V )
6 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( om 
^m  B )  e. 
_V
76rgenw 2623 . . . . . 6  |-  A. x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V
8 iunexg 5783 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )
10 acncc 8082 . . . . 5  |- AC  om  =  _V
119, 10syl6eleqr 2387 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  om )
12 acndom 7694 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  om 
->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  A ) )
132, 11, 12sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  A )
14 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  om )
15 omex 7360 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
16 xpdom1g 6975 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om )
)
1715, 2, 16sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om ) )
18 xpomen 7659 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
19 domentr 6936 . . . . 5  |-  ( ( ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  om )
2017, 18, 19sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  om )
213brrelexi 4745 . . . . . . 7  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
2221ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  om  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
23 iunexg 5783 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
244, 22, 23syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
25 omelon 7363 . . . . . 6  |-  om  e.  On
26 onenon 7598 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
2725, 26ax-mp 8 . . . . 5  |-  om  e.  dom  card
28 numacn 7692 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( om  e.  dom  card  ->  om  e. AC  U_ x  e.  A  B
) )
2924, 27, 28ee10 1366 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  om  e. AC  U_ x  e.  A  B )
30 acndom2 7697 . . . 4  |-  ( ( A  X.  om )  ~<_  om  ->  ( om  e. AC  U_ x  e.  A  B  ->  ( A  X.  om )  e. AC  U_ x  e.  A  B ) )
3120, 29, 30sylc 56 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  e. AC  U_ x  e.  A  B )
321, 13, 14, 31iundomg 8179 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  ( A  X.  om ) )
33 domtr 6930 . 2  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  ~<_  ( A  X.  om )  /\  ( A  X.  om )  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
3432, 20, 33syl2anc 642 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   {csn 3653   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   omcom 4672    X. cxp 4703   dom cdm 4705  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   cardccrd 7584  AC wacn 7587
This theorem is referenced by:  unictb  8213  heiborlem3  26640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591
  Copyright terms: Public domain W3C validator