Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Unicode version

Theorem iunctb 8396
 Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 8397). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2401 . . 3
2 simpl 444 . . . 4
3 reldom 7065 . . . . . . . 8
43brrelexi 4872 . . . . . . 7
54adantr 452 . . . . . 6
6 ovex 6059 . . . . . . 7
76rgenw 2730 . . . . . 6
8 iunexg 5940 . . . . . 6
95, 7, 8sylancl 644 . . . . 5
10 acncc 8267 . . . . 5 AC
119, 10syl6eleqr 2492 . . . 4 AC
12 acndom 7879 . . . 4 AC AC
132, 11, 12sylc 58 . . 3 AC
14 simpr 448 . . 3
15 omex 7545 . . . . . 6
16 xpdom1g 7155 . . . . . 6
1715, 2, 16sylancr 645 . . . . 5
18 xpomen 7844 . . . . 5
19 domentr 7116 . . . . 5
2017, 18, 19sylancl 644 . . . 4
213brrelexi 4872 . . . . . . 7
2221ralimi 2738 . . . . . 6
23 iunexg 5940 . . . . . 6
244, 22, 23syl2an 464 . . . . 5
25 omelon 7548 . . . . . 6
26 onenon 7783 . . . . . 6
2725, 26ax-mp 8 . . . . 5
28 numacn 7877 . . . . 5 AC
2924, 27, 28ee10 1382 . . . 4 AC
30 acndom2 7882 . . . 4 AC AC
3120, 29, 30sylc 58 . . 3 AC
321, 13, 14, 31iundomg 8363 . 2
33 domtr 7110 . 2
3432, 20, 33syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wcel 1721  wral 2663  cvv 2913  csn 3771  ciun 4049   class class class wbr 4167  con0 4536  com 4799   cxp 4830   cdm 4832  (class class class)co 6034   cmap 6968   cen 7056   cdom 7057  ccrd 7769  AC wacn 7772 This theorem is referenced by:  unictb  8397  heiborlem3  26374 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2382  ax-rep 4275  ax-sep 4285  ax-nul 4293  ax-pow 4332  ax-pr 4358  ax-un 4655  ax-inf2 7543  ax-cc 8262 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2526  df-ne 2566  df-ral 2668  df-rex 2669  df-reu 2670  df-rmo 2671  df-rab 2672  df-v 2915  df-sbc 3119  df-csb 3209  df-dif 3280  df-un 3282  df-in 3284  df-ss 3291  df-pss 3293  df-nul 3586  df-if 3697  df-pw 3758  df-sn 3777  df-pr 3778  df-tp 3779  df-op 3780  df-uni 3972  df-int 4007  df-iun 4051  df-br 4168  df-opab 4222  df-mpt 4223  df-tr 4258  df-eprel 4449  df-id 4453  df-po 4458  df-so 4459  df-fr 4496  df-se 4497  df-we 4498  df-ord 4539  df-on 4540  df-lim 4541  df-suc 4542  df-om 4800  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5372  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-ov 6037  df-oprab 6038  df-mpt2 6039  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-riota 6499  df-recs 6583  df-rdg 6618  df-1o 6674  df-oadd 6678  df-er 6855  df-map 6970  df-en 7060  df-dom 7061  df-sdom 7062  df-fin 7063  df-oi 7426  df-card 7773  df-acn 7776
 Copyright terms: Public domain W3C validator