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Theorem iundisj2 19010
Description: A disjoint union is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
iundisj.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisj2  |- Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    B, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k)

Proof of Theorem iundisj2
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1321 . . . 4  |-  T.
2 eqeq12 2370 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
3 csbeq1 3160 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
4 csbeq1 3160 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
53, 4ineqan12d 3448 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
65eqeq1d 2366 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
72, 6orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
8 eqeq12 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
y  =  x ) )
9 eqcom 2360 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
108, 9syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
11 csbeq1 3160 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
12 csbeq1 3160 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1311, 12ineqan12d 3448 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
14 incom 3437 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1513, 14syl6eq 2406 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
1615eqeq1d 2366 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
1710, 16orbi12d 690 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
18 nnssre 9840 . . . . . 6  |-  NN  C_  RR
1918a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  NN  C_  RR )
20 biidd 228 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
21 necom 2602 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =/=  x  <->  x  =/=  y )
22 df-ne 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2321, 22bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  =  y )
24 nnre 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
25 nnre 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
26 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  x  <_  y )
27 leltne 9001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
2824, 25, 26, 27syl3an 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
29 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
30 nfcsb1v 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ x  /  n ]_ A
31 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ x ) B
3230, 31nfdif 3373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
33 csbeq1a 3165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  A  =  [_ x  /  n ]_ A )
34 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  x  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ x ) )
3534iuneq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
3633, 35difeq12d 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B ) )
3729, 32, 36csbief 3198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
38 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
39 nfcsb1v 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
40 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ y ) B
4139, 40nfdif 3373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
42 csbeq1a 3165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
43 oveq2 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ y ) )
4443iuneq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
4542, 44difeq12d 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )
4638, 41, 45csbief 3198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ y  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
4737, 46ineq12i 3444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )
48 difss 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  [_ x  /  n ]_ A
49 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  NN )
50 nnuz 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5149, 50syl6eleq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
52 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  y  e.  NN )
5352nnzd 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ZZ )
54 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
55 elfzo2 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <  y ) )
5651, 53, 54, 55syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( 1..^ y ) )
57 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
k
58 nfcv 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n B
59 iundisj.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
6057, 58, 59csbhypf 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6160eqcoms 2361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6261eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  n ]_ A )
6362ssiun2s 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6456, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6548, 64syl5ss 3266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
66 ssrin 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  (
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
6847, 67syl5eqss 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) ) )
69 disjdif 3602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  =  (/)
70 sseq0 3562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  /\  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  =  (/) )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
7168, 69, 70sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
72713expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
73723adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  ->  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7428, 73sylbird 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
y  =/=  x  -> 
( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7523, 74syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7675orrd 367 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7776adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_ 
y ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
787, 17, 19, 20, 77wlogle 9396 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
791, 78mpan 651 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8079rgen2a 2685 . 2  |-  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
81 disjors 4090 . 2  |-  (Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  <->  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8280, 81mpbir 200 1  |- Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   [_csb 3157    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   U_ciun 3986  Disj wdisj 4074   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826   1c1 8828    < clt 8957    <_ cle 8958   NNcn 9836   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322  ..^cfzo 10962
This theorem is referenced by:  iunmbl  19014  volsup  19017  voliunnfl  25490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963
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