MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundom Unicode version

Theorem iundom 8351
Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union.  C depends on  x and should be thought of as  C ( x ). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iundom  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  ~<_  ( A  X.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem iundom
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)
2 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  A  e.  V )
3 ovex 6046 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  C )  e. 
_V
43rgenw 2717 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V
5 iunexg 5927 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )
62, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )
7 numth3 8284 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. 
_V  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card )
9 numacn 7864 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. AC  A ) )
102, 8, 9sylc 58 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. AC  A )
11 simpr 448 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  A. x  e.  A  C  ~<_  B )
12 reldom 7052 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 4859 . . . . 5  |-  ( C  ~<_  B  ->  C  e.  _V )
1413ralimi 2725 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  ~<_  B  ->  A. x  e.  A  C  e.  _V )
15 iunexg 5927 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  C  e.  _V )
1614, 15sylan2 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  e.  _V )
171, 10, 11iundom2g 8349 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)  ~<_  ( A  X.  B ) )
1812brrelex2i 4860 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  C )  ~<_  ( A  X.  B )  -> 
( A  X.  B
)  e.  _V )
19 numth3 8284 . . . 4  |-  ( ( A  X.  B )  e.  _V  ->  ( A  X.  B )  e. 
dom  card )
2017, 18, 193syl 19 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  ( A  X.  B )  e. 
dom  card )
21 numacn 7864 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  C  e.  _V  ->  ( ( A  X.  B )  e. 
dom  card  ->  ( A  X.  B )  e. AC  U_ x  e.  A  C )
)
2216, 20, 21sylc 58 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  ( A  X.  B )  e. AC  U_ x  e.  A  C
)
231, 10, 11, 22iundomg 8350 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  ~<_  ( A  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900   {csn 3758   U_ciun 4036   class class class wbr 4154    X. cxp 4817   dom cdm 4819  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955    ~<_ cdom 7044   cardccrd 7756  AC wacn 7759
This theorem is referenced by:  unidom  8352  alephreg  8391  inar1  8584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-ac2 8277
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-suc 4529  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-card 7760  df-acn 7763  df-ac 7931
  Copyright terms: Public domain W3C validator