MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundom Structured version   Unicode version

Theorem iundom 8409
Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union.  C depends on  x and should be thought of as  C ( x ). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iundom  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  ~<_  ( A  X.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem iundom
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)
2 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  A  e.  V )
3 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  C )  e. 
_V
43rgenw 2765 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V
5 iunexg 5979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )
62, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )
7 numth3 8342 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. 
_V  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card )
9 numacn 7922 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. AC  A ) )
102, 8, 9sylc 58 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. AC  A )
11 simpr 448 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  A. x  e.  A  C  ~<_  B )
12 reldom 7107 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 4910 . . . . 5  |-  ( C  ~<_  B  ->  C  e.  _V )
1413ralimi 2773 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  ~<_  B  ->  A. x  e.  A  C  e.  _V )
15 iunexg 5979 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  C  e.  _V )
1614, 15sylan2 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  e.  _V )
171, 10, 11iundom2g 8407 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)  ~<_  ( A  X.  B ) )
1812brrelex2i 4911 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  C )  ~<_  ( A  X.  B )  -> 
( A  X.  B
)  e.  _V )
19 numth3 8342 . . . 4  |-  ( ( A  X.  B )  e.  _V  ->  ( A  X.  B )  e. 
dom  card )
2017, 18, 193syl 19 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  ( A  X.  B )  e. 
dom  card )
21 numacn 7922 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  C  e.  _V  ->  ( ( A  X.  B )  e. 
dom  card  ->  ( A  X.  B )  e. AC  U_ x  e.  A  C )
)
2216, 20, 21sylc 58 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  ( A  X.  B )  e. AC  U_ x  e.  A  C
)
231, 10, 11, 22iundomg 8408 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  ~<_  ( A  X.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   {csn 3806   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   dom cdm 4870  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010    ~<_ cdom 7099   cardccrd 7814  AC wacn 7817
This theorem is referenced by:  unidom  8410  alephreg  8449  inar1  8642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-ac2 8335
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-card 7818  df-acn 7821  df-ac 7989
  Copyright terms: Public domain W3C validator