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Theorem iundom2g 8309
Description: An upper bound for the cardinality of a disjoint indexed union, with explicit choice principles. 
B depends on  x and should be thought of as  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iunfo.1  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
iundomg.2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
iundomg.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
Assertion
Ref Expression
iundom2g  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    T( x)

Proof of Theorem iundom2g
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iundomg.2 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
2 iundomg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
3 brdomi 7016 . . . . . . . . 9  |-  ( B  ~<_  C  ->  E. g 
g : B -1-1-> C
)
43adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  g : B -1-1-> C )
5 f1f 5543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : B -1-1-> C  -> 
g : B --> C )
6 reldom 7012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ~<_
76brrelex2i 4833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
86brrelexi 4832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  B  e.  _V )
9 elmapg 6928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
g : B --> C ) )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  C  ->  ( g  e.  ( C  ^m  B
)  <->  g : B --> C ) )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
g : B --> C ) )
125, 11syl5ibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  ( C  ^m  B ) ) )
13 ssiun2 4047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  ( C  ^m  B )  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( C  ^m  B
)  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1514sseld 3265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1612, 15syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1716ancrd 537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
1817eximdv 1627 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( E. g  g : B -1-1-> C  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
194, 18mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
20 df-rex 2634 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g ( g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
2119, 20sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
2221ralimiaa 2702 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
232, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
24 nfv 1624 . . . . 5  |-  F/ y E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C
25 nfiu1 4035 . . . . . 6  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )
26 nfcv 2502 . . . . . . 7  |-  F/_ x
g
27 nfcsb1v 3199 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
28 nfcv 2502 . . . . . . 7  |-  F/_ x C
2926, 27, 28nff1 5541 . . . . . 6  |-  F/ x  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
3025, 29nfrex 2683 . . . . 5  |-  F/ x E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
31 csbeq1a 3175 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
32 f1eq2 5539 . . . . . . 7  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3331, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3433rexbidv 2649 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3524, 30, 34cbvral 2845 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
3623, 35sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
37 f1eq1 5538 . . . 4  |-  ( g  =  ( f `  y )  ->  (
g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3837acni3 7821 . . 3  |-  ( (
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  /\  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)  ->  E. f
( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
391, 36, 38syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
40 nfv 1624 . . . . . 6  |-  F/ y ( f `  x
) : B -1-1-> C
41 nfcv 2502 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( f `  y
)
4241, 27, 28nff1 5541 . . . . . 6  |-  F/ x
( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
43 fveq2 5632 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
44 f1eq1 5538 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
46 f1eq2 5539 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4731, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4845, 47bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4940, 42, 48cbvral 2845 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  ( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)
50 df-ne 2531 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
51 acnrcl 7816 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  ->  A  e.  _V )
521, 51syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
53 r19.2z 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  E. x  e.  A  B  ~<_  C )
547rexlimivw 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  C  e.  _V )
5655expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
572, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
58 xpexg 4903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
5952, 57, 58ee12an 1368 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V ) )
6050, 59syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V ) )
61 xpeq1 4806 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  =  ( (/)  X.  C
) )
62 xp0r 4871 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  X.  C )  =  (/)
63 0ex 4252 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
6462, 63eqeltri 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  X.  C )  e.  _V
6561, 64syl6eqel 2454 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V )
6660, 65pm2.61d2 152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
67 iunfo.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
6867eleq2i 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  T  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )
69 eliun 4011 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
7068, 69bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  T  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
71 r19.29 2768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  E. x  e.  A  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )
72 xp1st 6276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 1st `  y
)  e.  { x } )
7372ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  { x } )
74 elsni 3753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  { x }  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
76 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  e.  A
)
7775, 76eqeltrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  A )
7875fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 x ) )
7978fveq1d 5634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) ) )
80 f1f 5543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  -> 
( f `  x
) : B --> C )
8180ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  x ) : B --> C )
82 xp2nd 6277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  B )
8382ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  B )
84 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  x
) : B --> C  /\  ( 2nd `  y )  e.  B )  -> 
( ( f `  x ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
8581, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
8679, 85eqeltrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
87 opelxpi 4824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  A  /\  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
8877, 86, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
8988rexlimiva 2747 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
9071, 89syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
9190ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) ) )
9270, 91syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) ) )
93 fvex 5646 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  y )  e.  _V
94 fvex 5646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  _V
9593, 94opth 4348 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
96 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
9796fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `  ( 1st `  z ) ) )
9897fveq1d 5634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )
9998eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
100 djussxp 4932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  C_  ( A  X.  _V )
10167, 100eqsstri 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  C_  ( A  X.  _V )
102 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  T )
103101, 102sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
104103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
105 xp1st 6276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( A  X.  _V )  ->  ( 1st `  y )  e.  A
)
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  A )
107 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C )
108 nfcv 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( f `  ( 1st `  y ) )
109 nfcsb1v 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B
110108, 109, 28nff1 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C
111 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) ) )
112 f1eq1 5538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) )  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
113111, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
114 csbeq1a 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  B  =  [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
115 f1eq2 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  ->  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
116114, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
117113, 116bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
118110, 117rspc 2963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  ->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
119106, 107, 118sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) ) :
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B -1-1-> C )
120109nfel2 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
12175eqcomd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  =  ( 1st `  y ) )
122121, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
12383, 122eleqtrd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
124123ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
125120, 124rexlimi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
12671, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
127126ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
12870, 127syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )
129128imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  T
)  ->  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
130129adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
131130adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
132128ralrimiv 2710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
133 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )
134 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
135134csbeq1d 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
136133, 135eleq12d 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  <->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
) )
137136rspccva 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  z  e.  T )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
138132, 137sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  z  e.  T
)  ->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
139138adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
140139adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
14196csbeq1d 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
142140, 141eleqtrrd 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
143 f1fveq 5908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  z ) )  <-> 
( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) ) )
144119, 131, 142, 143syl12anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
14599, 144bitr3d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
146145pm5.32da 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
)  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) ) )
147 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  T )
148101, 147sseldi 3264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  ( A  X.  _V ) )
149 xpopth 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( A  X.  _V )  /\  z  e.  ( A  X.  _V ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) )  <->  y  =  z ) )
150103, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )  <->  y  =  z ) )
151146, 150bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  y  =  z ) )
15295, 151syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) )
153152ex 423 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( y  e.  T  /\  z  e.  T )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) ) )
15492, 153dom2d 7045 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( A  X.  C )  e.  _V  ->  T  ~<_  ( A  X.  C
) ) )
15566, 154syl5com 26 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15649, 155syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
157156adantld 453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
158157exlimdv 1641 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15939, 158mpd 14 1  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1546    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873   [_csb 3167    C_ wss 3238   (/)c0 3543   {csn 3729   <.cop 3732   U_ciun 4007   class class class wbr 4125    X. cxp 4790   -->wf 5354   -1-1->wf1 5355   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1stc1st 6247   2ndc2nd 6248    ^m cmap 6915    ~<_ cdom 7004  AC wacn 7718
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6917  df-dom 7008  df-acn 7722
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