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Theorem iundom2g 8375
Description: An upper bound for the cardinality of a disjoint indexed union, with explicit choice principles. 
B depends on  x and should be thought of as  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iunfo.1  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
iundomg.2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
iundomg.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
Assertion
Ref Expression
iundom2g  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    T( x)

Proof of Theorem iundom2g
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iundomg.2 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
2 iundomg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
3 brdomi 7082 . . . . . . . . 9  |-  ( B  ~<_  C  ->  E. g 
g : B -1-1-> C
)
43adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  g : B -1-1-> C )
5 f1f 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : B -1-1-> C  -> 
g : B --> C )
6 reldom 7078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ~<_
76brrelex2i 4882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
86brrelexi 4881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  B  e.  _V )
9 elmapg 6994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
g : B --> C ) )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  C  ->  ( g  e.  ( C  ^m  B
)  <->  g : B --> C ) )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
g : B --> C ) )
125, 11syl5ibr 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  ( C  ^m  B ) ) )
13 ssiun2 4098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  ( C  ^m  B )  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1413adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( C  ^m  B
)  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1514sseld 3311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1612, 15syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1716ancrd 538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
1817eximdv 1629 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( E. g  g : B -1-1-> C  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
194, 18mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
20 df-rex 2676 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g ( g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
2119, 20sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
2221ralimiaa 2744 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
232, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
24 nfv 1626 . . . . 5  |-  F/ y E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C
25 nfiu1 4085 . . . . . 6  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )
26 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ x
g
27 nfcsb1v 3247 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
28 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ x C
2926, 27, 28nff1 5600 . . . . . 6  |-  F/ x  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
3025, 29nfrex 2725 . . . . 5  |-  F/ x E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
31 csbeq1a 3223 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
32 f1eq2 5598 . . . . . . 7  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3433rexbidv 2691 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3524, 30, 34cbvral 2892 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
3623, 35sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
37 f1eq1 5597 . . . 4  |-  ( g  =  ( f `  y )  ->  (
g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3837acni3 7888 . . 3  |-  ( (
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  /\  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)  ->  E. f
( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
391, 36, 38syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
40 nfv 1626 . . . . . 6  |-  F/ y ( f `  x
) : B -1-1-> C
41 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( f `  y
)
4241, 27, 28nff1 5600 . . . . . 6  |-  F/ x
( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
43 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
44 f1eq1 5597 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
46 f1eq2 5598 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4731, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4845, 47bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4940, 42, 48cbvral 2892 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  ( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)
50 df-ne 2573 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
51 acnrcl 7883 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  ->  A  e.  _V )
521, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
53 r19.2z 3681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  E. x  e.  A  B  ~<_  C )
547rexlimivw 2790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  C  e.  _V )
5655expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
572, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
58 xpexg 4952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
5952, 57, 58ee12an 1369 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V ) )
6050, 59syl5bir 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V ) )
61 xpeq1 4855 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  =  ( (/)  X.  C
) )
62 xp0r 4919 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  X.  C )  =  (/)
63 0ex 4303 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
6462, 63eqeltri 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  X.  C )  e.  _V
6561, 64syl6eqel 2496 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V )
6660, 65pm2.61d2 154 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
67 iunfo.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
6867eleq2i 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  T  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )
69 eliun 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
7068, 69bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  T  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
71 r19.29 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  E. x  e.  A  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )
72 xp1st 6339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 1st `  y
)  e.  { x } )
7372ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  { x } )
74 elsni 3802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  { x }  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
76 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  e.  A
)
7775, 76eqeltrd 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  A )
7875fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 x ) )
7978fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) ) )
80 f1f 5602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  -> 
( f `  x
) : B --> C )
8180ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  x ) : B --> C )
82 xp2nd 6340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  B )
8382ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  B )
8481, 83ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
8579, 84eqeltrd 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
86 opelxpi 4873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  A  /\  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
8777, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
8887rexlimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
8971, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
9089ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) ) )
9170, 90syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) ) )
92 fvex 5705 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  y )  e.  _V
93 fvex 5705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  _V
9492, 93opth 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
95 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
9695fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `  ( 1st `  z ) ) )
9796fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )
9897eqeq2d 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
99 djussxp 4981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  C_  ( A  X.  _V )
10067, 99eqsstri 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  C_  ( A  X.  _V )
101 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  T )
102100, 101sseldi 3310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
104 xp1st 6339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( A  X.  _V )  ->  ( 1st `  y )  e.  A
)
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  A )
106 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C )
107 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( f `  ( 1st `  y ) )
108 nfcsb1v 3247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B
109107, 108, 28nff1 5600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C
110 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) ) )
111 f1eq1 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) )  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
113 csbeq1a 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  B  =  [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
114 f1eq2 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  ->  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
116112, 115bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
117109, 116rspc 3010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  ->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
118105, 106, 117sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) ) :
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B -1-1-> C )
119108nfel2 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
12075eqcomd 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  =  ( 1st `  y ) )
121120, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
12283, 121eleqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
123122ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
124119, 123rexlimi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
12571, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
126125ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
12770, 126syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )
128127imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  T
)  ->  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
129128adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
130129adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
131127ralrimiv 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
132 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )
133 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
134133csbeq1d 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
135132, 134eleq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  <->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
) )
136135rspccva 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  z  e.  T )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
137131, 136sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  z  e.  T
)  ->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
138137adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
139138adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
14095csbeq1d 3221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
141139, 140eleqtrrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
142 f1fveq 5971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  z ) )  <-> 
( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) ) )
143118, 130, 141, 142syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
14498, 143bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
145144pm5.32da 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
)  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) ) )
146 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  T )
147100, 146sseldi 3310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  ( A  X.  _V ) )
148 xpopth 6351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( A  X.  _V )  /\  z  e.  ( A  X.  _V ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) )  <->  y  =  z ) )
149102, 147, 148syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )  <->  y  =  z ) )
150145, 149bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  y  =  z ) )
15194, 150syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) )
152151ex 424 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( y  e.  T  /\  z  e.  T )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) ) )
15391, 152dom2d 7111 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( A  X.  C )  e.  _V  ->  T  ~<_  ( A  X.  C
) ) )
15466, 153syl5com 28 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15549, 154syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
156155adantld 454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
157156exlimdv 1643 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15839, 157mpd 15 1  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920   [_csb 3215    C_ wss 3284   (/)c0 3592   {csn 3778   <.cop 3781   U_ciun 4057   class class class wbr 4176    X. cxp 4839   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   1stc1st 6310   2ndc2nd 6311    ^m cmap 6981    ~<_ cdom 7070  AC wacn 7785
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6983  df-dom 7074  df-acn 7789
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