MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunexg Structured version   Unicode version

Theorem iunexg 5989
Description: The existence of an indexed union.  x is normally a free-variable parameter in  B. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iunexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem iunexg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4125 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  W  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
21adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
3 abrexexg 5986 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
4 uniexg 4708 . . . 4  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  ->  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
65adantr 453 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U. {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
72, 6eqeltrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  W )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   U.cuni 4017   U_ciun 4095
This theorem is referenced by:  abrexex2g  5990  opabex3d  5991  opabex3  5992  iunex  5993  xpexgALT  6299  mpt2exxg  6424  ixpexg  7088  ixpssmapg  7094  iundom  8419  iunctb  8451  imasplusg  13745  imasmulr  13746  imasvsca  13748  gsum2d2  15550  gsumcom2  15551  dprd2da  15602  ptcls  17650  ptcmplem2  18086  trpredtr  25510  trpredmintr  25511  trpredrec  25518  cshwsex  28289  bnj535  29263  bnj546  29269  bnj893  29301  bnj1136  29368  bnj1413  29406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464
  Copyright terms: Public domain W3C validator