Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunfo Structured version   Unicode version

Theorem iunfo 8419
 Description: Existence of an onto function from a disjoint union to a union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
iunfo.1
Assertion
Ref Expression
iunfo
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem iunfo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fo2nd 6370 . . . 4
2 fof 5656 . . . 4
3 ffn 5594 . . . 4
41, 2, 3mp2b 10 . . 3
5 ssv 3370 . . 3
6 fnssres 5561 . . 3
74, 5, 6mp2an 655 . 2
8 df-ima 4894 . . 3
9 iunfo.1 . . . . . . . . . . 11
109eleq2i 2502 . . . . . . . . . 10
11 eliun 4099 . . . . . . . . . 10
1210, 11bitri 242 . . . . . . . . 9
13 xp2nd 6380 . . . . . . . . . . 11
14 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl5ib 212 . . . . . . . . . 10
1615reximdv 2819 . . . . . . . . 9
1712, 16syl5bi 210 . . . . . . . 8
1817impcom 421 . . . . . . 7
1918rexlimiva 2827 . . . . . 6
20 nfiu1 4123 . . . . . . . . 9
219, 20nfcxfr 2571 . . . . . . . 8
22 nfv 1630 . . . . . . . 8
2321, 22nfrex 2763 . . . . . . 7
24 ssiun2 4136 . . . . . . . . . . . 12
2524adantr 453 . . . . . . . . . . 11
26 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
27 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . 14
2827snid 3843 . . . . . . . . . . . . 13
29 opelxp 4911 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29mpbiran 886 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30sylibr 205 . . . . . . . . . . 11
3225, 31sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
3332, 9syl6eleqr 2529 . . . . . . . . 9
34 vex 2961 . . . . . . . . . 10
3527, 34op2nd 6359 . . . . . . . . 9
36 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
3736eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10
3837rspcev 3054 . . . . . . . . 9
3933, 35, 38sylancl 645 . . . . . . . 8
4039ex 425 . . . . . . 7
4123, 40rexlimi 2825 . . . . . 6
4219, 41impbii 182 . . . . 5
43 fvelimab 5785 . . . . . 6
444, 5, 43mp2an 655 . . . . 5
45 eliun 4099 . . . . 5
4642, 44, 453bitr4i 270 . . . 4
4746eqriv 2435 . . 3
488, 47eqtr3i 2460 . 2
49 df-fo 5463 . 2
507, 48, 49mpbir2an 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  csn 3816  cop 3819  ciun 4095   cxp 4879   crn 4882   cres 4883  cima 4884   wfn 5452  wf 5453  wfo 5455  cfv 5457  c2nd 6351 This theorem is referenced by:  iundomg  8421 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fo 5463  df-fv 5465  df-2nd 6353
 Copyright terms: Public domain W3C validator