Theorem iuniin 2573

Description: Law combining indexed union with indexed intersection. (This theorem appears as the last example on http://en.wikipedia.org/wiki/Union%5F%28set%5Ftheory%29. If anyone has a literature reference, please inform N. Megill.)

Assertion

Ref	Expression
iuniin	|- U_x e. A |^|_y e. B C (_ |^|_y e. B U_x e. A C

Distinct variable groups:   x,y   y,A   x,B

Proof of Theorem iuniin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.12 1740	. . 3 |- (E.x e. A A.y e. B z e. C -> A.y e. B E.x e. A z e. C)
2		eliun 2570	. . . 4 |- (z e. U_x e. A |^|_y e. B C <-> E.x e. A z e. |^|_y e. B C)
3		visset 1813	. . . . . 6 |- z e. V
4		eliin 2571	. . . . . 6 |- (z e. V -> (z e. |^|_y e. B C <-> A.y e. B z e. C))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- (z e. |^|_y e. B C <-> A.y e. B z e. C)
6	5	rexbii 1668	. . . 4 |- (E.x e. A z e. |^|_y e. B C <-> E.x e. A A.y e. B z e. C)
7	2, 6	bitr 173	. . 3 |- (z e. U_x e. A |^|_y e. B C <-> E.x e. A A.y e. B z e. C)
8		eliin 2571	. . . . 5 |- (z e. V -> (z e. |^|_y e. B U_x e. A C <-> A.y e. B z e. U_x e. A C))
9	3, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (z e. |^|_y e. B U_x e. A C <-> A.y e. B z e. U_x e. A C)
10		eliun 2570	. . . . 5 |- (z e. U_x e. A C <-> E.x e. A z e. C)
11	10	ralbii 1667	. . . 4 |- (A.y e. B z e. U_x e. A C <-> A.y e. B E.x e. A z e. C)
12	9, 11	bitr 173	. . 3 |- (z e. |^|_y e. B U_x e. A C <-> A.y e. B E.x e. A z e. C)
13	1, 7, 12	3imtr4 219	. 2 |- (z e. U_x e. A |^|_y e. B C -> z e. |^|_y e. B U_x e. A C)
14	13	ssriv 2069	1 |- U_x e. A |^|_y e. B C (_ |^|_y e. B U_x e. A C

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U_ciun 2566  |^|_ciin 2567

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-in 2051  df-ss 2053  df-iun 2568  df-iin 2569

Copyright terms: Public domain