MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Unicode version

Theorem iunmbl 19449
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables  i 
k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ k  A  e.  dom  vol
2 nfcsb1v 3285 . . . . . 6  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ A
32nfel1 2584 . . . . 5  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol
4 csbeq1a 3261 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
54eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
61, 3, 5cbvral 2930 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
7 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ k A
87, 2, 4cbviun 4130 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A
9 csbeq1 3256 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
109iundisj 19444 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
118, 10eqtri 2458 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )
12 difexg 4353 . . . . . . 7  |-  ( [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
1312ralimi 2783 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
14 dfiun2g 4125 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
)  =  U. {
y  |  E. k  e.  NN  y  =  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) } )
1611, 15syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
176, 16sylbi 189 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) } )
18 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) )  =  ( k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )
1918rnmpt 5118 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  NN  |->  (
[_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  =  { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2019unieqi 4027 . . 3  |-  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  = 
U. { y  |  E. k  e.  NN  y  =  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) }
2117, 20syl6eqr 2488 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
223, 5rspc 3048 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
2322impcom 421 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
24 fzofi 11315 . . . . . 6  |-  ( 1..^ k )  e.  Fin
25 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ m  A  e.  dom  vol
26 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
2726nfel1 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol
28 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
2928eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3025, 27, 29cbvral 2930 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
31 elfzouz 11146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
32 nnuz 10523 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3331, 32syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  NN )
3433ssriv 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ k )  C_  NN
35 ssralv 3409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1..^ k )  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3730, 36sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  A. m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
3837adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
39 finiunmbl 19440 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1..^ k )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e. 
dom  vol )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
4024, 38, 39sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
41 difmbl 19439 . . . . 5  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
/\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A  e.  dom  vol )  -> 
( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
4223, 40, 41syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  dom  vol )
4342, 18fmptd 5895 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) : NN --> dom  vol )
44 csbeq1 3256 . . . . 5  |-  ( i  =  m  ->  [_ i  /  n ]_ A  = 
[_ m  /  n ]_ A )
4544iundisj2 19445 . . . 4  |- Disj  i  e.  NN ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)
46 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
47 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
4847nfel1 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol
49 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5049eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
5148, 50rspc 3048 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
5251impcom 421 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
53 difexg 4353 . . . . . . 7  |-  ( [_ i  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
)  e.  _V )
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )
55 csbeq1 3256 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ i  /  n ]_ A )
56 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ i ) )
5756iuneq1d 4118 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A  =  U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A )
5855, 57difeq12d 3468 . . . . . . 7  |-  ( k  =  i  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A )  =  (
[_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) )
5958, 18fvmptg 5806 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  ( [_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
6046, 54, 59syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  =  ( [_ i  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ i ) [_ m  /  n ]_ A
) )
6160disjeq2dv 4189 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  (Disj  i  e.  NN ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
)  <-> Disj  i  e.  NN (
[_ i  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ i )
[_ m  /  n ]_ A ) ) )
6245, 61mpbiri 226 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  -> Disj  i  e.  NN ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  i
) )
63 eqid 2438 . . 3  |-  ( y  e.  NN  |->  ( vol
* `  ( x  i^i  ( ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) [_ m  /  n ]_ A
) ) `  y
) ) ) )  =  ( y  e.  NN  |->  ( vol * `  ( x  i^i  (
( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) ) `  y ) ) ) )
6443, 62, 63voliunlem2 19447 . 2  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( k  e.  NN  |->  ( [_ k  /  n ]_ A  \  U_ m  e.  ( 1..^ k )
[_ m  /  n ]_ A ) )  e. 
dom  vol )
6521, 64eqeltrd 2512 1  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   [_csb 3253    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   U.cuni 4017   U_ciun 4095  Disj wdisj 4184    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   1c1 8993   NNcn 10002   ZZ>=cuz 10490  ..^cfzo 11137   vol *covol 19361   volcvol 19362
This theorem is referenced by:  volsup  19452  iunmbl2  19453  vitalilem4  19505  vitalilem5  19506  ismbf3d  19548  itg2gt0  19654  voliune  24587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364
  Copyright terms: Public domain W3C validator