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Theorem iunmbl2 19451
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 7137 . . 3  |-  ( A  ~<_  NN  <->  ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN ) )
2 nnenom 11319 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
3 sdomentr 7241 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  NN  /\  NN  ~~ 
om )  ->  A  ~<  om )
42, 3mpan2 653 . . . . 5  |-  ( A 
~<  NN  ->  A  ~<  om )
5 isfinite 7607 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
6 finiunmbl 19438 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
76ex 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
85, 7sylbir 205 . . . . 5  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
94, 8syl 16 . . . 4  |-  ( A 
~<  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
10 bren 7117 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> NN )
11 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n  f : A -1-1-onto-> NN
12 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n NN
13 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1413nfcri 2566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1512, 14nfrex 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
16 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  f : A
--> NN )
1716ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
18173adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
19 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
20 f1ocnvfv1 6014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
21203adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
2221eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  n  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
23 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 ( f `  n ) )  ->  B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  B  =  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
2519, 24eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
26 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( `' f `  k
)  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
2726csbeq1d 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2827eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B 
<->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B ) )
2928rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  NN  /\  x  e.  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
3018, 25, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
31303exp 1152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3211, 15, 31rexlimd 2827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) )
33 f1ocnvdm 6018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' f `  k )  e.  A
)
34 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  ->  B  =  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
3534eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
3614, 35rspce 3047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
3736ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' f `  k
)  e.  A  -> 
( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3833, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3938rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B ) )
4032, 39impbid 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
41 eliun 4097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
42 eliun 4097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B )
4340, 41, 423bitr4g 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( x  e.  U_ n  e.  A  B 
<->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
4443eqrdv 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
4544adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
46 rspcsbela 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4733, 46sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4847an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4948ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
50 iunmbl 19447 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5149, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5245, 51eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
5352ex 424 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5453exlimiv 1644 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
5510, 54sylbi 188 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
569, 55jaoi 369 . . 3  |-  ( ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN )  -> 
( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
571, 56sylbi 188 . 2  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5857imp 419 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   [_csb 3251   U_ciun 4093   class class class wbr 4212   omcom 4845   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109   NNcn 10000   volcvol 19360
This theorem is referenced by:  opnmblALT  19495  mbfimaopnlem  19547  mbfaddlem  19552  mbfsup  19556  dmvlsiga  24512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362
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