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Theorem iunmbl2 18914
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 6891 . . 3  |-  ( A  ~<_  NN  <->  ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN ) )
2 nnenom 11042 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
3 sdomentr 6995 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<  NN  /\  NN  ~~ 
om )  ->  A  ~<  om )
42, 3mpan2 652 . . . . 5  |-  ( A 
~<  NN  ->  A  ~<  om )
5 isfinite 7353 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  <->  A  ~<  om )
6 finiunmbl 18901 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
76ex 423 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
85, 7sylbir 204 . . . . 5  |-  ( A 
~<  om  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
94, 8syl 15 . . . 4  |-  ( A 
~<  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
10 bren 6871 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> NN )
11 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n  f : A -1-1-onto-> NN
12 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n NN
13 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1413nfel2 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
1512, 14nfrex 2598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
16 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  f : A
--> NN )
17 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A --> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
1816, 17sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
19183adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( f `  n
)  e.  NN )
20 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
21 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
22213adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( `' f `  ( f `  n
) )  =  n )
2322eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  n  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
24 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 ( f `  n ) )  ->  B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  B  =  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
2620, 25eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B )
27 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( `' f `  k
)  =  ( `' f `  ( f `
 n ) ) )
2827csbeq1d 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  =  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)
2928eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B 
<->  x  e.  [_ ( `' f `  (
f `  n )
)  /  n ]_ B ) )
3029rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  NN  /\  x  e.  [_ ( `' f `  ( f `
 n ) )  /  n ]_ B
)  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
3119, 26, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  n  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
32313exp 1150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3311, 15, 32rexlimd 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B ) )
34 f1ocnvdm 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' f `  k )  e.  A
)
35 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  ->  B  =  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
3635eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( `' f `
 k )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
3714, 36rspce 2879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
3837ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' f `  k
)  e.  A  -> 
( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
3934, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B )
)
4039rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  ->  E. n  e.  A  x  e.  B ) )
4133, 40impbid 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( E. n  e.  A  x  e.  B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
42 eliun 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
43 eliun 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B )
4441, 42, 433bitr4g 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( x  e.  U_ n  e.  A  B 
<->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
) )
4544eqrdv 2281 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B )
4645adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B
)
47 rspcsbela 3140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' f `  k )  e.  A  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4834, 47sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  k  e.  NN )  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
4948an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ ( `' f `
 k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5049ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
51 iunmbl 18910 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k
)  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5250, 51syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( `' f `  k )  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5346, 52eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
5453ex 423 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5554exlimiv 1666 . . . . 5  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
5610, 55sylbi 187 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
579, 56jaoi 368 . . 3  |-  ( ( A  ~<  NN  \/  A  ~~  NN )  -> 
( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
)
581, 57sylbi 187 . 2  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5958imp 418 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   [_csb 3081   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863   NNcn 9746   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  opnmblALT  18958  mbfimaopnlem  19010  mbfaddlem  19015  mbfsup  19019  dmvlsiga  23490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825
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