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Theorem iunocv 16597
Description: The orthocomplement of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
inocv.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
iunocv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
iunocv  |-  (  ._|_  ` 
U_ x  e.  A  B )  =  ( V  i^i  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) )
Distinct variable groups:    x, V    x, W
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)   
._|_ ( x)

Proof of Theorem iunocv
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunss 3959 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  <->  A. x  e.  A  B  C_  V )
2 eliun 3925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
32imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
4 r19.23v 2672 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  B  -> 
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  ->  ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
53, 4bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
65albii 1556 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
7 df-ral 2561 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y
( y  e.  U_ x  e.  A  B  ->  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
8 df-ral 2561 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
98ralbii 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
10 ralcom4 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
119, 10bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  B  ->  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
126, 7, 113bitr4i 268 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
131, 12anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  B  C_  V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
14 r19.26 2688 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( A. x  e.  A  B  C_  V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
1513, 14bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
16 eliin 3926 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  (
z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B )  <->  A. x  e.  A  z  e.  (  ._|_  `  B )
) )
17 iunocv.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
19 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
20 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
21 inocv.o . . . . . . . . . 10  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
2217, 18, 19, 20, 21elocv 16584 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
23 3anan12 947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  ( z  e.  V  /\  ( B 
C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2422, 23bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  B
)  <->  ( z  e.  V  /\  ( B 
C_  V  /\  A. y  e.  B  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2524baib 871 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  V  ->  (
z  e.  (  ._|_  `  B )  <->  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2625ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( z  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  z  e.  (  ._|_  `  B )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
2716, 26bitr2d 245 . . . . 5  |-  ( z  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  ( B  C_  V  /\  A. y  e.  B  ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <->  z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
2815, 27syl5bb 248 . . . 4  |-  ( z  e.  V  ->  (
( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
2928pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  <->  ( z  e.  V  /\  z  e. 
|^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B )
) )
3017, 18, 19, 20, 21elocv 16584 . . . 4  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
31 3anan12 947 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  z  e.  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  <-> 
( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) ) )
3230, 31bitri 240 . . 3  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  ( z  e.  V  /\  ( U_ x  e.  A  B  C_  V  /\  A. y  e.  U_  x  e.  A  B ( z ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) ) )
33 elin 3371 . . 3  |-  ( z  e.  ( V  i^i  |^|_
x  e.  A  ( 
._|_  `  B ) )  <-> 
( z  e.  V  /\  z  e.  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) ) )
3429, 32, 333bitr4i 268 . 2  |-  ( z  e.  (  ._|_  `  U_ x  e.  A  B )  <->  z  e.  ( V  i^i  |^|_
x  e.  A  ( 
._|_  `  B ) ) )
3534eqriv 2293 1  |-  (  ._|_  ` 
U_ x  e.  A  B )  =  ( V  i^i  |^|_ x  e.  A  (  ._|_  `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U_ciun 3921   |^|_ciin 3922   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .icip 13229   0gc0g 13416   ocvcocv 16576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-ocv 16579
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