Theorem iunon 3915

Description: The indexed union of a set of ordinal numbers B(x) is an ordinal number.

Hypotheses

Ref	Expression
iunon.1	|- A e. V
iunon.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
iunon	|- (A.x e. A B e. On -> U_x e. A B e. On)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 1690	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. On -> A.xA.x e. A B e. On)
2		ax-17 973	. . . . . . 7 |- (y e. On -> A.x y e. On)
3		ra4 1697	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A B e. On -> (x e. A -> B e. On))
4		eleq1a 1546	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (y = B -> y e. On))
5	3, 4	syl6 22	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. On -> (x e. A -> (y = B -> y e. On)))
6	1, 2, 5	r19.23ad 1748	. . . . . 6 |- (A.x e. A B e. On -> (E.x e. A y = B -> y e. On))
7		abid 1468	. . . . . 6 |- (y e. {y | E.x e. A y = B} <-> E.x e. A y = B)
8	6, 7	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A.x e. A B e. On -> (y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
9	8	19.21aiv 1288	. . . 4 |- (A.x e. A B e. On -> A.y(y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
10		hbab1 1469	. . . . 5 |- (z e. {y | E.x e. A y = B} -> A.y z e. {y | E.x e. A y = B})
11		ax-17 973	. . . . 5 |- (z e. On -> A.y z e. On)
12	10, 11	dfss2f 2063	. . . 4 |- ({y | E.x e. A y = B} (_ On <-> A.y(y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
13	9, 12	sylibr 200	. . 3 |- (A.x e. A B e. On -> {y | E.x e. A y = B} (_ On)
14		iunon.1	. . . . 5 |- A e. V
15	14	abrexex 3866	. . . 4 |- {y | E.x e. A y = B} e. V
16	15	ssonuni 3001	. . 3 |- ({y | E.x e. A y = B} (_ On -> U.{y | E.x e. A y = B} e. On)
17	13, 16	syl 10	. 2 |- (A.x e. A B e. On -> U.{y | E.x e. A y = B} e. On)
18		iunon.2	. . 3 |- B e. V
19	18	dfiun2 2591	. 2 |- U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B}
20	17, 19	syl5eqel 1555	1 |- (A.x e. A B e. On -> U_x e. A B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507  U_ciun 2570  Oncon0 2954

This theorem is referenced by:  oacl 4176  omcl 4177  oecl 4178  rankuni2 4700  rankval4 4712  alephon 4876

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain