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Theorem iunpw 4570
Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
iunpw.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
iunpw  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem iunpw
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3200 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. A  -> 
( y  C_  x  <->  y 
C_  U. A ) )
21biimprcd 216 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. A  ->  (
x  =  U. A  ->  y  C_  x )
)
32reximdv 2654 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. A  ->  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
43com12 27 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
5 ssiun 3944 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U_ x  e.  A  x )
6 uniiun 3955 . . . . . 6  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
75, 6syl6sseqr 3225 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U. A )
84, 7impbid1 194 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  <->  E. x  e.  A  y 
C_  x ) )
9 vex 2791 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
109elpw 3631 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P U. A  <->  y 
C_  U. A )
11 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  e.  ~P x )
12 df-pw 3627 . . . . . . 7  |-  ~P x  =  { y  |  y 
C_  x }
1312abeq2i 2390 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P x  <->  y  C_  x )
1413rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
1511, 14bitri 240 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
168, 10, 153bitr4g 279 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  e.  ~P U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ~P x ) )
1716eqrdv 2281 . 2  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
18 ssid 3197 . . . . 5  |-  U. A  C_ 
U. A
19 iunpw.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
2019uniex 4516 . . . . . . 7  |-  U. A  e.  _V
2120elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  C_  U. A )
22 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2321, 22syl5bbr 250 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  C_ 
U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2418, 23mpbii 202 . . . 4  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x )
25 eliun 3909 . . . 4  |-  ( U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  U. A  e. 
~P x )
2624, 25sylib 188 . . 3  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x )
27 elssuni 3855 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
28 elpwi 3633 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  ~P x  ->  U. A  C_  x
)
2927, 28anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
30 eqss 3194 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  <->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
3129, 30sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  x  =  U. A )
3231ex 423 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( U. A  e.  ~P x  ->  x  =  U. A ) )
3332reximia 2648 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3426, 33syl 15 . 2  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3517, 34impbii 180 1  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-uni 3828  df-iun 3907
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