MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunun Unicode version

Theorem iunun 3982
Description: Separate a union in an indexed union. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunun  |-  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  (
U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C )

Proof of Theorem iunun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.43 2695 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  \/  E. x  e.  A  y  e.  C ) )
2 elun 3316 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
32rexbii 2568 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C )  <->  E. x  e.  A  ( y  e.  B  \/  y  e.  C ) )
4 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
5 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  <->  E. x  e.  A  y  e.  C )
64, 5orbi12i 507 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  \/  y  e.  U_ x  e.  A  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  B  \/  E. x  e.  A  y  e.  C ) )
71, 3, 63bitr4i 268 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C )  <->  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  \/  y  e.  U_ x  e.  A  C
) )
8 eliun 3909 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( B  u.  C
) )
9 elun 3316 . . 3  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  A  B  \/  y  e.  U_ x  e.  A  C
) )
107, 8, 93bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  <->  y  e.  ( U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C ) )
1110eqriv 2280 1  |-  U_ x  e.  A  ( B  u.  C )  =  (
U_ x  e.  A  B  u.  U_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    u. cun 3150   U_ciun 3905
This theorem is referenced by:  iununi  3986  oarec  6560  uniiccdif  18933  dftrpred4g  24237  comppfsc  26307  bnj1415  29068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-un 3157  df-iun 3907
  Copyright terms: Public domain W3C validator