Theorem iunun 2618

Description: Separate a union in an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunun	|- U_x e. A (B u. C) = (U_x e. A B u. U_x e. A C)

Proof of Theorem iunun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 2176	. . . . . 6 |- (y e. (B u. C) <-> (y e. B \/ y e. C))
2	1	rexbii 1671	. . . . 5 |- (E.x e. A y e. (B u. C) <-> E.x e. A (y e. B \/ y e. C))
3		r19.43 1768	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B \/ y e. C) <-> (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C))
4	2, 3	bitr 173	. . . 4 |- (E.x e. A y e. (B u. C) <-> (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C))
5	4	abbii 1578	. . 3 |- {y | E.x e. A y e. (B u. C)} = {y | (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C)}
6		unab 2270	. . 3 |- ({y | E.x e. A y e. B} u. {y | E.x e. A y e. C}) = {y | (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C)}
7	5, 6	eqtr4 1501	. 2 |- {y | E.x e. A y e. (B u. C)} = ({y | E.x e. A y e. B} u. {y | E.x e. A y e. C})
8		df-iun 2572	. 2 |- U_x e. A (B u. C) = {y | E.x e. A y e. (B u. C)}
9		df-iun 2572	. . 3 |- U_x e. A B = {y | E.x e. A y e. B}
10		df-iun 2572	. . 3 |- U_x e. A C = {y | E.x e. A y e. C}
11	9, 10	uneq12i 2185	. 2 |- (U_x e. A B u. U_x e. A C) = ({y | E.x e. A y e. B} u. {y | E.x e. A y e. C})
12	7, 8, 11	3eqtr4 1508	1 |- U_x e. A (B u. C) = (U_x e. A B u. U_x e. A C)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649   u. cun 2048  U_ciun 2570

This theorem is referenced by:  oarec 4202

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-rex 1653  df-v 1815  df-un 2053  df-iun 2572

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