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Theorem iunxiun 3984
Description: Separate an indexed union in the index of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunxiun  |-  U_ x  e.  U_  y  e.  A  B C  =  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C
Distinct variable groups:    x, y    x, A    y, C
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x)

Proof of Theorem iunxiun
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 3909 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  B  <->  E. y  e.  A  x  e.  B )
21anbi1i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C )  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
3 r19.41v 2693 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
42, 3bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C )  <->  E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C )
)
54exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C
)  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C ) )
6 rexcom4 2807 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  E. x ( x  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  E. x E. y  e.  A  ( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
75, 6bitr4i 243 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C
)  <->  E. y  e.  A  E. x ( x  e.  B  /\  z  e.  C ) )
8 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  B z  e.  C  <->  E. x ( x  e.  U_ y  e.  A  B  /\  z  e.  C ) )
9 eliun 3909 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  z  e.  C )
10 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  B  z  e.  C  <->  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
119, 10bitri 240 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
1211rexbii 2568 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. y  e.  A  E. x
( x  e.  B  /\  z  e.  C
) )
137, 8, 123bitr4i 268 . . 3  |-  ( E. x  e.  U_  y  e.  A  B z  e.  C  <->  E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C )
14 eliun 3909 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e. 
U_  y  e.  A  B C  <->  E. x  e.  U_  y  e.  A  B
z  e.  C )
15 eliun 3909 . . 3  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C  <->  E. y  e.  A  z  e.  U_ x  e.  B  C
)
1613, 14, 153bitr4i 268 . 2  |-  ( z  e.  U_ x  e. 
U_  y  e.  A  B C  <->  z  e.  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C )
1716eqriv 2280 1  |-  U_ x  e.  U_  y  e.  A  B C  =  U_ y  e.  A  U_ x  e.  B  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   U_ciun 3905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-iun 3907
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