MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunxun Structured version   Unicode version

Theorem iunxun 4174
Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunxun  |-  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  =  (
U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C )

Proof of Theorem iunxun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexun 3529 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) y  e.  C  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  C  \/  E. x  e.  B  y  e.  C ) )
2 eliun 4099 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  <->  E. x  e.  A  y  e.  C )
3 eliun 4099 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  y  e.  C )
42, 3orbi12i 509 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  C  \/  E. x  e.  B  y  e.  C ) )
51, 4bitr4i 245 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) y  e.  C  <->  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C
) )
6 eliun 4099 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  E. x  e.  ( A  u.  B
) y  e.  C
)
7 elun 3490 . . 3  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C
) )
85, 6, 73bitr4i 270 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  y  e.  ( U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C ) )
98eqriv 2435 1  |-  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  =  (
U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 359    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    u. cun 3320   U_ciun 4095
This theorem is referenced by:  iunsuc  4665  funiunfv  5997  iunfi  7396  kmlem11  8042  ackbij1lem9  8110  fsum2dlem  12556  fsumiun  12602  prmreclem4  13289  fiuncmp  17469  ovolfiniun  19399  finiunmbl  19440  volfiniun  19443  voliunlem1  19446  uniioombllem4  19480  iuninc  24013  indval2  24414  sigaclfu2  24506  measvuni  24570  sibfof  24656  cvmliftlem10  24983  fprod2dlem  25306  mblfinlem2  26246  iunxprg  28070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-un 3327  df-iun 4097
  Copyright terms: Public domain W3C validator