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Theorem iunxun 3983
Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunxun  |-  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  =  (
U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C )

Proof of Theorem iunxun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexun 3355 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) y  e.  C  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  C  \/  E. x  e.  B  y  e.  C ) )
2 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  <->  E. x  e.  A  y  e.  C )
3 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  y  e.  C )
42, 3orbi12i 507 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  C  \/  E. x  e.  B  y  e.  C ) )
51, 4bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) y  e.  C  <->  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C
) )
6 eliun 3909 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  E. x  e.  ( A  u.  B
) y  e.  C
)
7 elun 3316 . . 3  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C
) )
85, 6, 73bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  y  e.  ( U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C ) )
98eqriv 2280 1  |-  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  =  (
U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    u. cun 3150   U_ciun 3905
This theorem is referenced by:  iunsuc  4474  funiunfv  5774  iunfi  7144  kmlem11  7786  ackbij1lem9  7854  fsum2dlem  12233  fsumiun  12279  prmreclem4  12966  fiuncmp  17131  ovolfiniun  18860  finiunmbl  18901  volfiniun  18904  voliunlem1  18907  uniioombllem4  18941  iuninc  23158  sigaclfu2  23482  measvuni  23542  indval2  23598  cvmliftlem10  23825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-un 3157  df-iun 3907
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