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Theorem iunxun 3999
Description: Separate a union in the index of an indexed union. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
iunxun  |-  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  =  (
U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C )

Proof of Theorem iunxun
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexun 3368 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) y  e.  C  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  C  \/  E. x  e.  B  y  e.  C ) )
2 eliun 3925 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  <->  E. x  e.  A  y  e.  C )
3 eliun 3925 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  B  C  <->  E. x  e.  B  y  e.  C )
42, 3orbi12i 507 . . . 4  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C )  <->  ( E. x  e.  A  y  e.  C  \/  E. x  e.  B  y  e.  C ) )
51, 4bitr4i 243 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( A  u.  B ) y  e.  C  <->  ( y  e.  U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C
) )
6 eliun 3925 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  E. x  e.  ( A  u.  B
) y  e.  C
)
7 elun 3329 . . 3  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  A  C  \/  y  e.  U_ x  e.  B  C
) )
85, 6, 73bitr4i 268 . 2  |-  ( y  e.  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  <->  y  e.  ( U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C ) )
98eqriv 2293 1  |-  U_ x  e.  ( A  u.  B
) C  =  (
U_ x  e.  A  C  u.  U_ x  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    u. cun 3163   U_ciun 3921
This theorem is referenced by:  iunsuc  4490  funiunfv  5790  iunfi  7160  kmlem11  7802  ackbij1lem9  7870  fsum2dlem  12249  fsumiun  12295  prmreclem4  12982  fiuncmp  17147  ovolfiniun  18876  finiunmbl  18917  volfiniun  18920  voliunlem1  18923  uniioombllem4  18957  iuninc  23174  sigaclfu2  23497  measvuni  23557  indval2  23613  cvmliftlem10  23840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-un 3170  df-iun 3923
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