MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Unicode version

Theorem ivth2 19313
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth2.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  U  /\  U  <  ( F `
 A ) ) )
Assertion
Ref Expression
ivth2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, c, B    D, c, x    F, c, x    ph, c, x    A, c, x    U, c, x

Proof of Theorem ivth2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ivth.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ivth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
43renegcld 9428 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  RR )
5 ivth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6 ivth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
7 ivth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
8 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
)  =  ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
)
98negfcncf 18910 . . . 4  |-  ( F  e.  ( D -cn-> CC )  ->  ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
)  e.  ( D
-cn-> CC ) )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) )  e.  ( D -cn-> CC ) )
116sselda 3316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  D )
12 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
1312negeqd 9264 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  x ) )
14 negex 9268 . . . . . 6  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
1513, 8, 14fvmpt 5773 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
1611, 15syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
17 ivth.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1817renegcld 9428 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 x )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  x )  e.  RR )
201rexrd 9098 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
212rexrd 9098 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
221, 2, 5ltled 9185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
23 lbicc2 10977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
256, 24sseldd 3317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
26 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
2726negeqd 9264 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  A ) )
28 negex 9268 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  A )  e.  _V
2927, 8, 28fvmpt 5773 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  A )  =  -u ( F `  A ) )
3025, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  A )  =  -u ( F `  A ) )
31 ivth2.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  U  /\  U  <  ( F `
 A ) ) )
3231simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 A ) )
3317ralrimiva 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
34 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
3534eleq1d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  A )  e.  RR ) )
3635rspcv 3016 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  A )  e.  RR ) )
3724, 33, 36sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
383, 37ltnegd 9568 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  A )  <->  -u ( F `  A
)  <  -u U ) )
3932, 38mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( F `  A )  <  -u U
)
4030, 39eqbrtrd 4200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  A )  <  -u U
)
4131simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  <  U )
42 ubicc2 10978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
4320, 21, 22, 42syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
44 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
4544eleq1d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
4645rspcv 3016 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  B )  e.  RR ) )
4743, 33, 46sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
4847, 3ltnegd 9568 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  U  <->  -u U  <  -u ( F `  B )
) )
4941, 48mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u U  <  -u ( F `  B )
)
506, 43sseldd 3317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
51 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
5251negeqd 9264 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  B ) )
53 negex 9268 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  B )  e.  _V
5452, 8, 53fvmpt 5773 . . . . . 6  |-  ( B  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  B )  =  -u ( F `  B ) )
5550, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  B )  =  -u ( F `  B ) )
5649, 55breqtrrd 4206 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u U  <  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  B ) )
5740, 56jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
) `  A )  <  -u U  /\  -u U  <  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  B ) ) )
581, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 57ivth 19312 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u U )
59 ioossicc 10960 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
6059, 6syl5ss 3327 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6160sselda 3316 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  D )
62 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  y )  =  ( F `  c ) )
6362negeqd 9264 . . . . . . 7  |-  ( y  =  c  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  c ) )
64 negex 9268 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  c )  e.  _V
6563, 8, 64fvmpt 5773 . . . . . 6  |-  ( c  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u ( F `  c ) )
6661, 65syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u ( F `  c ) )
6766eqeq1d 2420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u U 
<-> 
-u ( F `  c )  =  -u U ) )
68 cncff 18884 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( D -cn-> CC )  ->  F : D
--> CC )
697, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
7069ffvelrnda 5837 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  D )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
7161, 70syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
723recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
7372adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  U  e.  CC )
7471, 73neg11ad 9371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -u ( F `  c )  =  -u U  <->  ( F `  c )  =  U ) )
7567, 74bitrd 245 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u U 
<->  ( F `  c
)  =  U ) )
7675rexbidva 2691 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( A (,) B
) ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
) `  c )  =  -u U  <->  E. c  e.  ( A (,) B
) ( F `  c )  =  U ) )
7758, 76mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    C_ wss 3288   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085   -ucneg 9256   (,)cioo 10880   [,]cicc 10883   -cn->ccncf 18867
This theorem is referenced by:  ivthle2  19315  pilem3  20330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869
  Copyright terms: Public domain W3C validator