MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth2 Structured version   Unicode version

Theorem ivth2 19357
Description: The intermediate value theorem, decreasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth2.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  U  /\  U  <  ( F `
 A ) ) )
Assertion
Ref Expression
ivth2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, c, B    D, c, x    F, c, x    ph, c, x    A, c, x    U, c, x

Proof of Theorem ivth2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ivth.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ivth.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
43renegcld 9469 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  RR )
5 ivth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
6 ivth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
7 ivth.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
8 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
)  =  ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
)
98negfcncf 18954 . . . 4  |-  ( F  e.  ( D -cn-> CC )  ->  ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
)  e.  ( D
-cn-> CC ) )
107, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) )  e.  ( D -cn-> CC ) )
116sselda 3350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  D )
12 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
1312negeqd 9305 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  x ) )
14 negex 9309 . . . . . 6  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
1513, 8, 14fvmpt 5809 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
1611, 15syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
17 ivth.8 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
1817renegcld 9469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 x )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  x )  e.  RR )
201rexrd 9139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
212rexrd 9139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
221, 2, 5ltled 9226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
23 lbicc2 11018 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
256, 24sseldd 3351 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
26 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
2726negeqd 9305 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  A ) )
28 negex 9309 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  A )  e.  _V
2927, 8, 28fvmpt 5809 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  A )  =  -u ( F `  A ) )
3025, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  A )  =  -u ( F `  A ) )
31 ivth2.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  U  /\  U  <  ( F `
 A ) ) )
3231simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 A ) )
3317ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
34 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
3534eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  A )  e.  RR ) )
3635rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  A )  e.  RR ) )
3724, 33, 36sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
383, 37ltnegd 9609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  A )  <->  -u ( F `  A
)  <  -u U ) )
3932, 38mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( F `  A )  <  -u U
)
4030, 39eqbrtrd 4235 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  A )  <  -u U
)
4131simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  <  U )
42 ubicc2 11019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
4320, 21, 22, 42syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
44 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
4544eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
4645rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  B )  e.  RR ) )
4743, 33, 46sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
4847, 3ltnegd 9609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  U  <->  -u U  <  -u ( F `  B )
) )
4941, 48mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u U  <  -u ( F `  B )
)
506, 43sseldd 3351 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
51 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
5251negeqd 9305 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  B ) )
53 negex 9309 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  B )  e.  _V
5452, 8, 53fvmpt 5809 . . . . . 6  |-  ( B  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  B )  =  -u ( F `  B ) )
5550, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  B )  =  -u ( F `  B ) )
5649, 55breqtrrd 4241 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u U  <  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  B ) )
5740, 56jca 520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
) `  A )  <  -u U  /\  -u U  <  ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  B ) ) )
581, 2, 4, 5, 6, 10, 19, 57ivth 19356 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u U )
59 ioossicc 11001 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
6059, 6syl5ss 3361 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6160sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  D )
62 fveq2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  y )  =  ( F `  c ) )
6362negeqd 9305 . . . . . . 7  |-  ( y  =  c  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  c ) )
64 negex 9309 . . . . . . 7  |-  -u ( F `  c )  e.  _V
6563, 8, 64fvmpt 5809 . . . . . 6  |-  ( c  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u ( F `  c ) )
6661, 65syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  -u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u ( F `  c ) )
6766eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u U 
<-> 
-u ( F `  c )  =  -u U ) )
68 cncff 18928 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( D -cn-> CC )  ->  F : D
--> CC )
697, 68syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
7069ffvelrnda 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  D )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
7161, 70syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
723recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
7372adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  U  e.  CC )
7471, 73neg11ad 9412 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -u ( F `  c )  =  -u U  <->  ( F `  c )  =  U ) )
7567, 74bitrd 246 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |-> 
-u ( F `  y ) ) `  c )  =  -u U 
<->  ( F `  c
)  =  U ) )
7675rexbidva 2724 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( A (,) B
) ( ( y  e.  D  |->  -u ( F `  y )
) `  c )  =  -u U  <->  E. c  e.  ( A (,) B
) ( F `  c )  =  U ) )
7758, 76mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   -ucneg 9297   (,)cioo 10921   [,]cicc 10924   -cn->ccncf 18911
This theorem is referenced by:  ivthle2  19359  pilem3  20374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913
  Copyright terms: Public domain W3C validator